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kuing

管理员

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1^#

发表于 2012-12-24 23:51

来自人教论坛的一道空间四边形对角线向量点乘

来源：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2628443

这个题的数据太特殊了，$3^2+11^2=7^2+9^2$，竟然刚好是垂直，其实一般情况也能解的。

记 $\vv{AB}=\vv a$, $\vv{BC}=\vv b$, $\vv{CD}=\vv c$, $\vv{DA}=\vv d$，则 $\vv a+\vv b+\vv c+\vv d=\vv0$，且
\begin{align*}
4\vv{AC}\cdot\vv{BD}&=\bigl(\vv{AB}+\vv{BC}+\vv{AD}+\vv{DC}\bigr)\cdot\bigl(\vv{BC}+\vv{CD}+\vv{BA}+\vv{AD}\bigr)\\
&=\bigl(\vv a+\vv b-\vv d-\vv c\bigr)\cdot\bigl(\vv b+\vv c-\vv a-\vv d\bigr)\\
&= -|\vv a|^2+|\vv b|^2-|\vv c|^2+|\vv d|^2+2\vv a\cdot\vv c-2\vv b\cdot\vv d\\
&= -|\vv a|^2+|\vv b|^2-|\vv c|^2+|\vv d|^2+2\vv a\cdot\vv c+2\vv b\cdot\bigl(\vv a+\vv b+\vv c\bigr)\\
&= -|\vv a|^2+|\vv b|^2-|\vv c|^2+|\vv d|^2+2\bigl(\vv a+\vv b\bigr)\cdot\bigl(\vv b+\vv c\bigr)\\
&= -|\vv a|^2+|\vv b|^2-|\vv c|^2+|\vv d|^2+2\vv{AC}\cdot\vv{BD},
\end{align*}
从而解得
\[\vv{AC}\cdot\vv{BD}=\frac12\bigl(-|\vv a|^2+|\vv b|^2-|\vv c|^2+|\vv d|^2\bigr).\]

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

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2^#

发表于 2012-12-25 00:20

感觉我这个推导好像还是繁琐了点，不知有没有更简单的？

hongxian

金牌会员

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帖子: 160

3^#

发表于 2012-12-25 09:16

本帖最后由 hongxian 于 2012-12-25 11:18 编辑

$\vv{AC} \cdot \vv{BD}=(\vv{AB}+\vv{BC}) \cdot (\vv{BC}+\vv{CD})=\vv{AB} \cdot \vv{BC}+\vv{AB} \cdot \vv{CD}+\vv{BC} \cdot \vv{CD}+\vv{BC}^2$
$\vv{AD}^2=(\vv{AB}+\vv{BC}+\vv{CD})^2=\vv{AB}^2+\vv{BC}^2+\vv{CD}^2+2(\vv{AB} \cdot \vv{BC}+\vv{AB} \cdot \vv{CD}+\vv{BC} \cdot \vv{CD})$
所以$\vv{AB} \cdot \vv{BC}+\vv{AB} \cdot \vv{CD}+\vv{BC} \cdot \vv{CD}=\dfrac{1}{2}\bigl (\vv{AD}^2-\vv{AB}^2-\vv{BC}^2-\vv{CD}^2)$
代入上式有$\vv{AC} \cdot \vv{BD}=\dfrac{1}{2}(\vv{AD}^2-\vv{AB}^2-\vv{BC}^2-\vv{CD}^2)+\vv{BC}^2=\dfrac{1}{2} (\vv{AD}^2-\vv{AB}^2+\vv{BC}^2-\vv{CD}^2)$

realnumber

论坛元老

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4^#

发表于 2012-12-25 09:26

本帖最后由 realnumber 于 2012-12-25 13:14 编辑

就是第一步不知道怎么严格点,
引入平行六面体,使得1楼四点是平行六面体其中四个顶点,以同一顶点D为起点的向量设为$\vv{a} \vv{b}\vv{c}$
那么已知条件是$\abs{\vv{a}+\vv{b}}=11$,$\abs{\vv{a}-\vv{b}}=3$,$\abs{\vv{c}+\vv{b}}=9$,$\abs{\vv{b}-\vv{c}}=7$,
求$(\vv{c}+\vv{a})(\vv{c}-\vv{a})$.
只需要四个等式2个平方和与另外2个平方和的差就可以.
向量问题.GIF

(4.2 KB)

2012-12-25 13:07

这样就可以,平移DB,使得和AC互相平分,那么六面体就出现了.

kuing

管理员

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5^#

发表于 2012-12-25 12:28

3# hongxian

嗯，这个推导也不错

kuing

管理员

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6^#

发表于 2012-12-25 13:14

4# realnumber

补上图终于看懂了，也挺牛！

isea

论坛元老

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7^#

发表于 2012-12-28 22:09

感觉我这个推导好像还是繁琐了点，不知有没有更简单的？
kuing 发表于 2012-12-25 00:20

可能用两次余弦定理算比较简洁的吧

我来试写一下

isea

论坛元老

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帖子: 753

8^#

发表于 2012-12-28 22:13

本帖最后由 isea 于 2013-1-23 22:43 编辑

$\vv {AC}\cdot\vv {BD}=\\
\vv {AB}\cdot\vv {BD}+\vv {BC}\cdot\vv {BD}\\
=-\dfrac{{AB}^2+{BD}^2-{AD}^2}{2}+\dfrac{{BD}^2+{BC}^2-{CD}^2}{2}\\
=……

$

应该可以化了……

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2013年1月23日默默更新一个应用。

snap.png (29.47 KB)