[不等式] 关于三角函数的值域

有没有见过下面这个题的解答方法：
$在△ABC中，求$$$y=\frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}$$的值域。

\[\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=\frac s{R+r}\]
$s$ 是半周长，$R$ 和 $r$ 是外接圆和内切圆半径。

2# kuing
知道关系$R\ge 2r，但是s怎么办？$

大概要用那个Ger什么什么不等式……
还是别sRr了，要么化边试试看……
下确界显然是0（当 $A=B\to0$, $C\to\pi$）所以只要管上确界

4# kuing
我曾经搜到了答案，但是挺复杂的啊。希望给出简单的严谨的方法！

5# reny

后面没看懂，我的话后面还是用分类 Schur 吧。
延用楼上前半的结果，直到写出 $y$ 的表达式的第一行，分母根号内的每个 1 用 $uv+vw+wu=1$ 代入，可以化简为
\[y=\frac4{4uvw+(u+v)(v+w)(w+u)}=\frac4{3uvw+p},\]
其中 $p=u+v+w\geqslant\sqrt3$。
（1）若 $p>2$，则显然 $y<4/(3uvw+2)<2$；
（2）若 $\sqrt3\leqslant p\leqslant 2$，则由 Schur 不等式有
\[y\leqslant \frac4{\frac{4p-p^3}3+p}=\frac{12}{p(7-p^2)}=f(p),\]
求导得
\[f'(p)=\frac{12(3p^2-7)}{p^2(7-p^2)^2}\geqslant 0,\]
所以 $y\leqslant f(2)=2$，但是等号取不了，因为需要 $p=2$，此时 $4p-p^3=0$，所以 $3uvw\geqslant(4p-p^3)/3$ 无法取等。

综上可知 $y<2$，当 $u$, $v\to1$, $w\to0$ 时 $y\to2$，所以 2 是上确界。

查了一下，刚才4#想说的不等式的名字叫 Gerretsen 不等式，真长，所以一直记不住，只记得前几个字母，对E文真是没感觉。
Gerretsen 不等式的具体表达式是 $4R^2+4Rr+3r^2\geqslant s^2\geqslant 16Rr-5r^2$，是个挺好用的不等式，这里用左边那个，有
\[\frac s{R+r}\leqslant \frac{\sqrt{4R^2+4Rr+3r^2}}{R+r}<\frac{\sqrt{4R^2+8Rr+4r^2}}{R+r}=2,\]
当三角形为等腰三角形且顶角趋向 0 时 $r\to0$, $s\to2R\not\to0$，故 $s/(R+r)\to2$。

正如你在前文http://kkkkuingggg.5d6d.net/viewthread.php?tid=975&highlight=中的证明方法，
$用Schur不等式证明这类问题很管用呢，第二种方法用到Gerretsen $不等式，还是我初次见到，增长了见识，
你知道的结论也确实非常多！

8# reny

几何不等式的经典结论非常多，几何不等式的发展在中国应该是比较领先的，牛人很多，我也只是略懂一二……

三角函数

10# 转化与化归

oh，这样也可以。
不过最好补充一下确界的说明。

确界是应该说一下的！

这种方法也挺好的，只是对于解答题的话，不太容易想到，因为担心放缩大了。