[不等式] 横刀夺三角爱

经典题目：在三角形$ABC$中，求证$$\cos A+\cos B+\cos C\le \dfrac{3}{2}.$$
横刀夺爱：

（在脑子想个三角形，先），
设$\vv {AB},\vv {BC},\vv {CA}$的单位向量为$\vv a ,\vv b,\vv c$，

则

$\vv a\vv b=-\cos (\pi-B)=-\cos B，$

同理

$\vv b\vv c=-\cos C，\vv c \vv a=-\cos A，$

于是

$\cos A+\cos B+\cos C=-\vv a\vv b-\vv b\vv c-\vv c\vv a\\
\cos A+\cos B+\cos C=(\vv a+\vv b+\vv c)^2-3+3(-\vv a\vv b-\vv b\vv c-\vv c\vv a)\\
\cos A+\cos B+\cos C=(\vv a+\vv b+\vv c)^2-3+3(-\cos A+\cos B+\cos C)\\
-2\cos A+\cos B+\cos C=(\vv a+\vv b+\vv c)^2-3\ge-3\\
\cos A+\cos B+\cos C\le \dfrac32$

取$“="$时当且仅当$\vv a+\vv b+\vv c=\vv 0$，
$AB=BC=CA$，亦即三角形此时为等边三角形.



有点意思，来自张景中院士.


顺便打打公式，对齐真不容易啊

这种证法太多的经典题通常我只是当看客的

2# kuing


嗯，那个3/2 怎么变大？

一会横刀一下

看置顶中的“一些说明”中的第*4点

PS、
向量可以用 \vv{AB}、\vv a 等，这是我为方便输入而定义的简洁命令；
cosA -> \cos A
点乘 \cdot

4# kuing


好看多了，不过，中英文混排（公式输入时），痛苦啊，这玩意毕竟是外国人发明的……

5# isea

没办法，我输入的时候也要来回切换。

这种方法在彭翕成与张景中老师的《绕来绕去的向量法》$P224$中可以看到，挨着还有用向量法证明$\sum cos^2{A}\ge\frac34$

呵呵，的确是 绕来绕去向量法 一书中的，不过，偶只是看到的节选，一会找本全书看看，有点意思

对于∑那样的符号，看着就觉着不懂了.......

话说我翻到两年前这贴 http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... page%3D1&page=3
嵌入不等式也可以这样做

8# isea
这本书网上也找得到电子版的，用向量法证明有些题确实有优势，不过对于证明不等式，我个人认为还不是很好。

sigh~

经典题就是不一样，我还以为这个是神来之笔，原来向量这种方法也是经典中的经典

要多“读书”啊

人教链接那个帖子，老早也见过，当时也就一闪而过，现在的高一，正在进行向量的应用，偶见这种不等式的证明，还真是觉得有点意思