[不等式] sqing老师的2个不等式

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2012-12-24 08:42

第2个$a=\cos α,b=\cos β, α,β为锐角$,那么问题等价于
$(\sin β-\sin α)(\sin (β-α)) \ge 0$,总算找到个会的.

第一个难道不是排序不等式一步到位??

第二个其实也是

就这样被你秒了?可那边似乎很复杂,瞄了下略过.

kk第一个写写看,没想出你说的办法

5# realnumber
不妨设$a\ge b\ge c>0$,则$$a\sqrt{1+a^2}\ge b\sqrt{1+b^2}\ge c\sqrt{1+c^2},\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$$
故由排序不等式($乱序\ge逆序$)，$$LHS\ge a+b+c.$$

恩,...明白了,没看仔细,那边附2也有排序

6# reny

这样写不妨设是不好的，因为不等式只是轮换对称，不完全对称。
其实也不必设序，因为由单调性显然无论 $a$, $b$, $c$ 顺序如何，序列 $\bigl\{a\sqrt{1+a^2},b\sqrt{1+b^2},c\sqrt{1+c^2}\bigr\}$ 与 $\Bigl\{\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\frac{1}{\sqrt{1+b^2}},\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\Bigr\}$ 总成反序，所以由乱序和$\geqslant$反序和即得原不等式，这样就可以避免别人揪住你那个不妨设。

8# kuing
嗯，是这样的，更严谨些。

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2013-1-16 20:50

是不是也是排序不等式?那么第一个不等号其实反向了?
若$x\ge y\ge z$,那么$\frac{x}{x+a}\ge\frac{y}{y+a}\ge\frac{z}{z+a}\ge$,以及$x+a\ge y+a \ge z+a$

是不是也是排序不等式?那么第一个不等号其实反向了?
若$x\ge y\ge z$,那么$\frac{x}{x+a}\ge\frac{y}{y+a}\ge\frac{z}{z+a}\ge$,以及$x+a\ge y+a \ge z+a$
realnumber 发表于 2013-1-16 20:50

是的，一样道理，无论 $x$, $y$, $z$ 是何种顺序，由单调性知序列 $\{x+a, y+a, z+a\}$ 与 $\bigl\{\frac x{x+a}, \frac y{y+a}, \frac z{z+a}\bigr\}$ 总是同序的，所以那三个东东 $x+y+z$ 最大。

也有可能是他把题目打错了，因为只要换一下分子分母就有
\[\frac{a+x}{a+y}x+\frac{a+y}{a+z}y+\frac{a+z}{a+x}x\geqslant x+y+z.\]