[不等式] 不等式证明

博客中看到的不等式：
$(1)$设$x_1,x_2,……，x_n\in R^{+}$，求证：$$\sum_{i=1}^{n}(\frac{\sum_{j=1}^{i}x_j}{i})^3\le\frac{27}{8}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^3$$

$(2)$已知$数列\{a_n\}满足a_n=\frac{1}{(n+1)^2}\sqrt{\frac{n+2}{n+1}},求证$$$\sum_{i=1}^{n}a_i<2(\sqrt{2}-1)$$

第二个
\[
\frac1{(n+1)^2}\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}\leqslant \frac{2(n+1)}{3n}\sqrt{\frac{n+1}n}-\frac{2(n+2)}{3(n+1)}\sqrt{\frac{n+2}{n+1}},
\]
从第三项开始放缩。

PS1、这是积分放出来的；
PS2、像第一题这么复杂的式子其实可以试试用行间公式……见置顶贴

2# kuing
不清楚积分怎么放缩的
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n}a_i&\le\frac14\sqrt{\frac32}+\frac19\sqrt{\frac43}+\frac89\sqrt{\frac43}-\frac{2(n+2)}{3(n+1)}\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}\\
&<\frac14\sqrt{\frac32}+\frac19\sqrt{\frac43}+\frac89\sqrt{\frac43}-\frac23\\
&<2(\sqrt{2}-1)
\end{align*}
积分不等式对于复杂点儿的数列不等式确实管用，主要是求积分。

我觉得右边的值和$\frac{\pi}{12}$比较接近，用$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2n^2}$来逼近，但是失败了。

参考《数学空间》第3期《数列不等式的定积分解法》：
http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxs ... 0110516_1041459.htm

第一个不等式想来想去没证出来，哪里来的？

PS、align 环境默认自动编号，如果不想编号可以加星号，即 \(\verb"\begin{align*}...\end{align*}"\)

5# kuing
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b27095d01017fxt.html
也没有答案

上面那个积分你是不是用换元$t=\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}$

当时懒了，用了软件
现在在研究第一个加强，不加强很难数归……

7# kuing
哦，换元也很容易求出来的。
用什么软件求的积分？

你不是有 mathematica 么……

$\color{red}{不等式（1）有没有人能找到证明方法？}$

10# reny

查到了，第一个不等式是哈代不等式（http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%27s_inequality）当 $p=3$ 时的有限项情形……而且那个系数最佳，难怪一直加强不来，不太易玩……

以下证明是按照 Elliott 对哈代不等式的证明改写的。
对所有 $k\geqslant2$，由均值，有
\begin{align*}
& \left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3-\frac32\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^2x_k \\
={}&\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3-\frac32\left( k\cdot \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k-(k-1)\cdot \frac{\sum_{i=1}^{k-1}x_i}{k-1} \right)\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^2 \\
={}&\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3\left( 1-\frac{3k}2 \right)+\frac{3(k-1)}2\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^2\frac{\sum_{i=1}^{k-1}x_i}{k-1} \\
\leqslant{}& \left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3\left( 1-\frac{3k}2 \right)+\frac{k-1}2\left( 2\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3+\left( \frac{\sum_{i=1}^{k-1}x_i}{k-1} \right)^3 \right) \\
={}&\frac12\left( (k-1)\left( \frac{\sum_{i=1}^{k-1}x_i}{k-1} \right)^3-k\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3 \right),
\end{align*}
于是上式取 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 求和得
\[\sum_{k=2}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3}-\frac32\sum_{k=2}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^2x_k}\leqslant \frac12\left( x_1^3-n\left( \frac{\sum_{i=1}^nx_i}n \right)^3 \right),\]
即
\[
\sum_{k=1}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3}-\frac32\sum_{k=1}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^2x_k}\leqslant -\frac n2\left( \frac{\sum_{i=1}^nx_i}n \right)^3\leqslant 0,
\]
故由 Holder 不等式，有
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3}&\leqslant \frac32\sum_{k=1}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^2x_k} \\
& \leqslant \frac32\left( \sum_{k=1}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3} \right)^{2/3}\left( \sum_{k=1}^n{x_k^3} \right)^{1/3},
\end{align*}
所以
\[
\left( \sum_{k=1}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3} \right)^{1/3}\leqslant \frac32\left( \sum_{k=1}^n{x_k^3} \right)^{1/3},
\]
即
\[
\sum_{k=1}^n{\left( \frac{\sum_{i=1}^kx_i}k \right)^3}\leqslant \frac{27}8\sum_{k=1}^n{x_k^3}.
\]

等号取不了，除非 $x_i$ 全为 $0$。

结果是一个挺有难度的不等式，感谢找到了答案