[数列] 来自群的数列题，没事求求通项 $x_{n+1}=1+x_n/(p+x_n)$

\[x_{1}=1,x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{p+x_{n}},p>0\]

由 $p>0$ 可令 $p=2\tan t$，其中 $t$ 为锐角，不动点方程
\[x=1+\frac{x}{2\tan t+x}\]
的解为
\[x=1-\tan t\pm \sec t,\]
从而易得
\[\frac{x_{n+1}-\left( 1-\tan t+\sec t \right)}{x_{n+1}-\left( 1-\tan t-\sec t \right)}=\tan \frac{t}{2}\cot \left( \frac{t}{2}+\frac{\pi }{4} \right)\cdot \frac{x_{n}-\left( 1-\tan t+\sec t \right)}{x_{n}-\left( 1-\tan t-\sec t \right)},\]
于是由等比及 $x_1=1$ 得
\[\frac{x_{n}-\left( 1-\tan t+\sec t \right)}{x_{n}-\left( 1-\tan t-\sec t \right)}=\left( \tan \frac{t}{2}\cot \left( \frac{t}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \right)^{n-1}\cdot \left( -\cot ^{2}\left( \frac{t}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \right),\]
将 $x_n$ 解出并化简整理为
\[x_{n}=\frac{2}{\frac{2\csc t}{\left( \cot \frac{t}{2}\tan \left( \frac{t}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \right)^{n}-1}+1+\tan \frac{t}{2}}.\]

由此也不难发现 $x_n$ 是个递增数列，极限为
\[\lim_{n\to+\infty}x_{n}=\frac{2}{1+\tan \frac{t}{2}}=1-\tan t+\sec t,\]
正是不动点的正根。换回 $p$，为
\[1-\frac{p}{2}+\sqrt{1+\frac{p^{2}}{4}},\]
原题中第一问证 $p=2$ 时 $x_n<\sqrt2$，而上式代 $p=2$ 正是 $\sqrt2$，说明要证的这个界就是极限，所以不可再小了。

补发原题：

已知数列$\{x_n\}$中，$x_1=1$，$x_{n+1}=1+\frac{x_n}{p+x_n}$（$n\in\mathbf N^+$，$p$是正常数）。
（1）当$p=2$时，用数学归纳法证明$x_n<\sqrt2$；
（2）是否存在正整数$M$，使得对于任意正整数$n$，都有$x_M>x_n$？

这题貌似没有收录。mark之

2# kuing
三角代换求不动点，好！
单就原题来说，求通项好象有点不划算！

kuing是出题人而非解题者

5# 李斌斌755

出题有可能是先有通项再出题了!

我不会出题……

话说本题还有3种方法？