[几何] 来自人教群的一道椭圆平几题

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2012-12-21 20:03

如图，不用解释了吧……

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2012-12-21 20:03

将F2点转化为关于角平分线对称的点F2'.那么F2'到F1的距离为2a，那么方程可求得：$(x-2)^2+y^2=a^2$

可以肯定的是，在双曲线中， 则应使AP为内角平分线，同样得点P的轨迹是以原点为圆心，实半轴为半径的圆。
不过，如果考虑椭圆中，AP为内角平分线（或者双曲线中，AP为外角平分线），则轨迹又是什么？

可以肯定的是，在双曲线中， 则应使AP为内角平分线，同样得点P的轨迹是以原点为圆心，实半轴为半径的圆。
不过，如果考虑椭圆中，AP为内角平分线（或者双曲线中，AP为外角平分线），则轨迹又是什么？
第一章 发表于 2012-12-26 21:04

不是常见轨迹，不过倒也不是难算，仍以右焦点为例。
我们延用1#的结论，如图所示。

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2012-12-26 23:06

显然 $APF_2Q$ 是矩形，故易证 $O$, $P$, $Q$ 三点共线。
设椭圆方程为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, $a>b>0$, $F_2(c,0)$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$，再设 $P(a\cos\theta,a\sin\theta)$，则容易求出直线 $OP$ 和 $F_2Q$ 的方程分别为
\begin{align*}
L_{OP}&:\sin \theta \cdot x-\cos \theta \cdot y=0, \\
L_{F_2Q}&:(c-a\cos \theta )(x-c)-a\sin \theta \cdot y=0,
\end{align*}
于是联立解得 $Q$ 点轨迹的参数方程为
\[\left\{\begin{aligned}
x&=\frac{c(c-a\cos \theta )\cos \theta }{c\cos \theta -a}, \\
y&=\frac{c(c-a\cos \theta )\sin \theta }{c\cos \theta -a},
\end{aligned}\right.\]
其中 $\theta$ 为参数且 $\theta\in[0,2\pi)$。

求Q的时候，想过用参数方程，但孤立了，没想过利用点P，更没想到OPQ共线；
顺便问下，这种曲线有没有一个名称啥的（双曲线的情况，貌似不是封闭曲线了）？

5# 第一章

应该没什么名称吧，暂时也没见过求这种轨迹的题目
现在要出门，晚点回来试试双曲线

看了一下，仍然有共线什么的，左支右支都是，推导是完全一样的，即方程不用变，照代双曲线的 a 和 c 就行。

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2012-12-27 15:35

此时的确不是闭合曲线，因为这时分母能够趋向 0，也就是双曲线上的当动点无穷远时。