[不等式] 又一个三角不等式

$在△ABC中，求证\sum{tan^{2}}\frac{A}{2}\ge\frac{16}{9}(\sum{sin^{2}}\frac{A}{2})^2$

在 $\triangle ABC$ 中，求证
\[\sum\tan^2\frac A2\geqslant \frac{16}9\left(\sum\sin^2\frac A2\right)^2.\]

记 $\tan \frac A2=x$, $\tan \frac B2=y$, $\tan \frac C2=z$，则 $x$, $y$, $z>0$ 且 $xy+yz+zx=1$，于是
\begin{align*}
\sum \sin^2\frac A2&=3-\sum \cos^2\frac A2 \\
& =3-\sum \frac1{1+x^2} \\
& =3-\sum \frac1{xy+yz+zx+x^2} \\
& =3-\sum \frac1{(x+y)(z+x)} \\
& =3-\frac{2\sum x}{\prod(x+y)} \\
& =3-\frac{2\sum x}{\sum x-xyz},
\end{align*}
记 $p=\sum x$，由均值知 $p^2\geqslant 3$，则原不等式等价于
\[p^2-2\geqslant \frac{16}9\left( 3-\frac{2p}{p-xyz} \right)^2.\]

由 Schur 不等式的等价形式 $xyz\geqslant \frac{4p-p^3}9$ 知
\[0<3-\frac{2p}{p-xyz}\leqslant 3-\frac{2p}{p-\frac{4p-p^3}9}=\frac{3(p^2-1)}{p^2+5},\]
故
\[\frac{16}9\left( 3-\frac{2p}{p-xyz} \right)^2\leqslant\frac{16(p^2-1)^2}{(p^2+5)^2},\]
而
\[p^2-2-\frac{16(p^2-1)^2}{(p^2+5)^2}=\frac{(p^2-3)(p^4-5p^2+22)}{(p^2+5)^2}\geqslant 0,\]
所以原不等式成立。

突然想起 G-B 不等式
\[\tan^2\frac A2+\tan^2\frac B2+\tan^2\frac C2\geqslant2-8\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2=2-\frac{2r}R,\]
而
\[\sin^2\frac A2+\sin^2\frac B2+\sin^2\frac C2=1-\frac r{2R},\]
所以只要证
\[2-\frac{2r}R\geqslant \frac{16}9\left(1-\frac r{2R}\right)^2,\]
左右作差知上式等价于
\[\frac{2(R-2r)(R+r)}{9R^2}\geqslant0,\]
显然成立。

你的两种解法都用到很多三角结论、恒等变形，以及因式分解。因为对有些结论不熟悉，我看了好一会儿才看明白呢，谢谢你的解答。
问一下：有点儿复杂的因式分解，你是凭什么技巧来分解的呢？

在图书馆找到了答案，给出了下面的方法：
\begin{align}
\sum{tan}^2\frac{A}{2}&\ge\frac49(\sum{sin}^2A)(\sum{tan}^2\frac{A}{2})\notag\\
&=\frac{16}{9}(\sum{sin}^2\frac{A}{2}{cos}^2\frac{A}{2})(\sum\frac{{sin}^2\frac{A}{2}}{{cos}^2\frac{A}{2}})\notag\\
&\ge\frac{16}{9}(\sum{sin}^2\frac{A}{2})^2\notag
\end{align}
这种解法用到了$\sum{sin}^2A=3-\sum{cos}^2A=2+2\prod{cosA}\le\frac94$
编辑这个解答，也顺便$\color{red}{学习}$一下使用$\color{green}{LaTex}$

oh，原来命题的直接舍掉了 $\sum\sin^2A$ ……真简单

那些恒等变形玩多了就会了，甚至条件反射了。因式分解的话有时可以根据取等条件知道会有什么因式。

PS、在代码的输入上你那有不少要改进的，你可以引用我前面的贴子参考一下怎么输入。

像这个不等式$\prod(-a+b+c)\le\prod a$是不是很简单得出？

7# reny

这个等价于 Schur 不等式哟

刚才查了它是$r=1$时的几种变形，它和$s_1^3-4s_1s_2+9s_3\ge 0$等价，需要$a\ge0,b\ge0,c\ge0$,不等式的一些重要结论用的少，在看书的时候，那些方法中用的结论有时候就不知道怎么来的。