[不等式] 三角不等式

本帖最后由 reny 于 2012-12-19 23:30 编辑

已知A ,B ,C 为锐角,$tanAtanBtanC=16\sqrt{2}$,证明:$\frac1{cosA}+\frac1{cosB}+\frac1{cosC}\ge1$

本主题由 kuing 于 2013-1-19 14:57 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-12-19 23:34

用
\[\frac1{\cos A}=\sqrt{1+\tan^2A}\]
然后均值什么的随便就行了吧

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

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3^#

发表于 2012-12-19 23:42

话说目测了一下完全可以证 $\geqslant9$ ？

reny

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4^#

发表于 2012-12-20 12:00

3# kuing

搞错了，是证明$cosA+cosB+cosC\ge1$

kuing

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5^#

发表于 2012-12-20 12:03

4# reny

这样的话好像转化为一个被研究过的结论的特例……

kuing

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6^#

发表于 2012-12-20 12:41

参考这篇东东http://www.docin.com/p-7311951.html

kuing

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7^#

发表于 2012-12-20 13:39

oh，原来数据刚好取的等价于IMO42-2（楼上链接中的文章也有提及）
由条件可令 $\tan A=\frac{\sqrt{8yz}}{x}$, $\tan B=\frac{\sqrt{8zx}}{y}$, $\tan C=\frac{\sqrt{8xy}}{z}$，其中 $x$, $y$, $z>0$，则
\[\sum\cos A=\sum\frac1{\sqrt{1+\tan^2A}}=\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}\]

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