[几何] 来自群的焦点弦与抛物线围成面积

爱好/kel/yb緈諨(3977*****)  21:43:55
抛物线y^2=4ax，过焦点的弦与抛物线围成面积的最小值
这道题怎么做简单

群管-kuing/bb/jy/cd  21:45:09
目测

爱好者-林  21:46:17
是不是垂直？面积最小？

群管-kuing/bb/jy/cd  21:47:26
显然的

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2012-12-19 21:56

这样就行了
群管-kuing/bb/jy/cd  21:48:17
一倾斜，左边上升的面积比右边下沉的面积要大

代数法没想到简单方法，用常规的韦达定理……
不妨设抛物线为 $y=4ax^2$，其中 $a>0$，焦点弦为 $y=kx+a$，与抛物线两交点为 $(x_1,4ax_1^2)$, $(x_2,4ax_2^2)$，其中 $x_1<x_2$，联立方程组后根据韦达定理可得
\[x_1+x_2=\frac{k}{4a}, x_1x_2=-\frac14,x_2-x_1=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{k^2+16a^2}}{4a},\]
于是
\begin{align*}
S&=\frac12(4ax_1^2-a+4ax_2^2-a)(x_2-x_1)-\int_{x_1}^{x_2}4ax^2\rmd x\\
&=\frac16(x_2-x_1)\bigl(3k(x_1+x_2)-8a(x_1+x_2)^2+8ax_1x_2+6a\bigr)\\
&=\frac16\cdot\frac{\sqrt{k^2+16a^2}}{4a}\left(3k\left(\frac{k}{4a}\right)-8a\left(\frac{k}{4a}\right)^2+4a\right)\\
&=\frac{\sqrt{(k^2+16a^2)^3}}{96a^2},
\end{align*}
所以当且仅当 $k=0$ 时那面积取最小值 $2a/3$。