[函数] 证明f(x)恒为0

已知对于任意的x,y都有f(xy)=xf(y)+yf(x),且对任意x,|f(x)|小于等于1,求证f(x)=0恒成立 。

可归纳证明对任意 $n\in\mbb N^+$ 有 $f(x^n)=nx^{n-1}f(x)$，如果存在 $x_0\ne0$ 使 $f(x_0)\ne0$，则令 $n\to\infty$ 便知与 $\abs{f(x)}\leqslant1$ 矛盾。

如果是$0<x_{0}<1$,取极限的话，导不出矛盾吧？

3# reny

用
\[0=f(1)=xf\left(\frac1x\right)+\frac1xf(x)\]

易得:$(1)f(0)=f(1)=f(-1)=0；(2)f(x)$是奇函数，$(3)f(x^n)=nx^{n-1}f(x), n \in \mathbf N^*$。
由$(2)$可知，只需要证明$f(x)=0,\forall x \in [0,+\infty)$。
当$t\in (0,1)$时，$|f(t)|=|f(x_0^n)|=|nx_0^{n-1}f(x_0)|\leqslant |nx_0^{n-1}|$,取极限得，$f(t)=0$。
当$t\in (1,+\infty)$时，$|f(t^n)|=|nt^{n-1}f(t)|$，于是$|f(t)|=\left |\dfrac{f(t^n)}{nt^{n-1}}\right | \leqslant \left |\dfrac{1}{nt^{n-1}}\right |$,取极限得，$f(t)=0$。
以下略

易得:$(1)f(0)=f(1)=f(-1)=0；(2)f(x)$是奇函数，$(3)f(x^n)=nx^{n-1}f(x), n \in \mathbf N^*$。
由$(2)$可知，只需要证明$f(x)=0,\forall x \in [0,+\infty)$。
当$t\in (0,1)$时，$|f(t)|=|f(x_0^n)|=|nx_0^{n- ...
hnsredfox_007 发表于 2012-12-20 08:24

$(0,1)$的证明确问题, 那个$x_0$跟$n$有关, 取极限得不到零。

6# kuing


的确是

7# hnsredfox_007

嗯，$(1,+\infty)$ 的没问题，所以也可以拿 4# 的式子来推到 $(0,1)$ 上。

用解柯西函数方程得方法不行？易得$\frac{f(x)}{xy}=\frac{f(x)}x+\frac{f(y)}y$,因为是$\abs{f(x)}\le1$，不是$f(x)$连续或单调.

用解柯西函数方程得方法不行？易得$\frac{f(x)}{xy}=\frac{f(x)}x+\frac{f(y)}y$,因为是$\abs{f(x)}\le1$，不是$f(x)$连续或单调.
reny 发表于 2012-12-20 11:38

用柯西方程的理论肯定可以，因为柯西方程的非连续解在任何区间内都是无界的