[不等式] 百度贴吧防水题

\[a,b,c>0\] 证明：

\[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\ge 4\]

本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:04 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-12-19 12:10

易证
\[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\]

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

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3^#

发表于 2012-12-19 12:13

话说为什么叫防水题??

kuing

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4^#

发表于 2012-12-19 12:52

根据2#的式子，原不等式至少可以加强为
\[\frac ab+\frac bc+\frac ca+\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geqslant6\]
但是我相信
\[\frac ab+\frac bc+\frac ca+\frac{k\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geqslant3+\frac k3\]
的最大 $k$ 应该不止 9，可能比较难，有空再研究下。

kuing

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5^#

发表于 2012-12-19 14:00

修改了一下楼上，刚才写错了。
PS、bottema 给出的最大 $k$ 是一个七次方程的根

，近似值是 24.9238，好大，不过证明我就无能为力了…

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