好久没见“折线和”问题了，这次改编得看上去比之前的难些……

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2012-12-17 19:42

问题：已知 $\theta \in\mbb R$，实数 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ 满足 $\cos\theta \leqslant x_1\leqslant 2\cos\theta$, $\sin\theta \leqslant x_2\leqslant 2\sin\theta$, $2x_3+x_4-6=0$，则 $\abs{x_1-x_3}+\abs{x_2-x_4}$ 的最小值为

首先显然 $\theta$ 只能是第一象限角，然后画图完事吧……有
\[\abs{x_1-x_3}+\abs{x_2-x_4}=\color{blue}{蓝线}\geqslant\color{red}{红线}\geqslant\color{green}{绿线}=3-\sqrt5\]

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2012-12-17 19:42

这样也可以，先固定$x_{1},x_{2}$
$\abs{x_{1}-x_{3}}+\abs{x_{2}-6+2x_{3}}=\abs{x_{3}-x_{1}}+\abs{0.5x_{2}-3+x_{3}}+\abs{0.5x_{2}-3+x_{3}}$
在$x_{3}=3-0.5x_{2}$取最小值，然后就是圆环内动点问题了.

2# realnumber

嗯，帮你把过程写完吧。
易证当 $a$, $b\in\mbb R$, $A>B>0$ 时 $f(x)=A\abs{x-a}+B\abs{x-b}$ 当 $x=a$ 取最小值 $B\abs{a-b}$。
于是
\[\abs{x_1-x_3}+\abs{x_2-x_4}=\abs{x_3-x_1}+2\abs{x_3+\frac12x_2-3}\geqslant\abs{3-\frac12x_2-x_1},\]
而
\[x_1+\frac12x_2\leqslant 2\cos\theta+\sin\theta \leqslant \sqrt5,\]
所以
\[\abs{3-\frac12x_2-x_1}\geqslant3-\sqrt5,\]
当 $x_1=4/\sqrt5$, $x_3=4/\sqrt5+3-\sqrt5$, $x_2=x_4=2/\sqrt5$ 时等号成立。

这样就成功地将图形语言翻译为严格的代数证明鸟

$a$, $b\in\mbb R$, $A>B>0$ 时 $f(x)=A\abs{x-a}+B\abs{x-b}$ 当 $x=a$ 取最小值 $B\abs{a-b}$。
没想到这个过，我是这样
这一步需要事先做个系列，用数轴上的距离解释最好，$│x-a│+│x-b│,在a\le x\le b$取最小
$│x-a│+│x-b│+│x-c│,(a\le b\le c)$在$x=b$最小，可以推广到奇数个绝对值与偶数个

5# realnumber

折线函数的一般情况何版主在数学空间第1期写过……

$a$, $b\in\mbb R$, $A>B>0$ 时 $f(x)=A\abs{x-a}+B\abs{x-b}$ 当 $x=a$ 取最小值 $B\abs{a-b}$
写写代码玩玩（基本都是复制的）：
$f(x)=A\abs{x-a}+B\abs{x-b}\geqslant B\abs{x-a}+B\abs{x-b}=B[\abs{x-a}+\abs{b-x}]\geqslant B[\abs{x-a+b-x}]=B\abs{a-b}$
当且仅当$A\abs{x-a}=B\abs{x-a}$，且$(x-a)(b-x)\geqslant0$，即$x=a$取等号。

没事练习下代码玩玩：
上面的思路是消元法，即先消去$x_4$，然后绝对值不等式再消去$x_3$，下面直接消去，其实都一样。
$\abs{x_1-x_3}+\abs{x_2-x_4}\geqslant\abs{x_1-x_3}+\dfrac12\abs{x_2-x_4}\geqslant\abs{x_1-x_3+\dfrac12x_2-\dfrac12x_4}=\abs{x_1+\dfrac12x_2-3}$，
由柯西不等式可得，$(x_1+\dfrac12x_2)^2\leqslant (x_1^2+x_2^2)(1+\dfrac14)\leqslant 4\cdot\dfrac54\leqslant 5$，
于是，$x_1+\dfrac12x_2\leqslant \sqrt5<3$，
故$\abs{\dfrac12x_2+x_1-3}=3-(\dfrac12x_2+x_1)\geqslant3-\sqrt5$.
当且仅当$x_2=x_4$，$(x_1-x_3)(x_2-x_4)\geqslant0$，$x_3+\dfrac12x_4=3$，$x_1=2x_2$，$x_1^2+x_2^2=4$取等号，见3楼。