证明积分不等式

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负递增，求证：存在 $[0,1]$ 上的非负凸函数 $g(x)$ 满足 $g(x)\leqslant f(x)$ 且
\[\int_0^1g(x)\rmd{x}\geqslant \frac12\int_0^1f(x)\rmd{x}.\]
_____kuing edit in $\LaTeX$_____

不成立吧，当 $f(x)$ 非常极端的时候，是不存在这样的函数的。有空写个例上来。

$f(x)$ 有多变态呢，如果 $f(x)$ 凹的太厉害，图像非常靠近 $(1,0)$ 点，类似于反比例图像的时候，符合条件的 $g(x)$ 怕是不存在的

3# 都市侠影

题目中的“凸函数”应该是指下凸吧

直观上是能想象到应该如何构造 $g(x)$ 的，比如这样的 $f(x)$

(7.54 KB)

2012-12-18 14:45

那么 $g(x)$ 如下图蓝色线所示。

(10.04 KB)

2012-12-18 14:45

就是不知如何用数学语言去表达及证明。

那个 $f(x)$ 可以不连续，反正下面的线就是这样绕。
于是从面积来看结果是成立的，线重合的地方积分的面积相同，而不重合的地方，直线积分那面积的两倍肯定不小于上方曲线那积分的面积。

(9.34 KB)

2012-12-18 14:56

极端的情况，如果允许非严格递增的话，那么比如当 $f(x)=\begin{cases} 0,&x\in[0,0.5],\\ 1,&x\in(0.5,1], \end{cases}$ 时，$g(x)$ 只能是 $g(x)=\begin{cases} 0,&x\in[0,0.5],\\ 2x-1,&x\in(0.5,1]. \end{cases}$ 也符合上面的蓝色绕法。

这样描述 $g(x)$ 行不行呢？
对于每个非负实数 $k$，使 $f(x)\geqslant kx+b$ 在 $[0,1]$ 上恒成立的最大的 $b$ 记为 $b(k)$，那么曲线 $y=g(x)$ 为直线系 $y=kx+b(k)$ 当 $k$ 取遍非负实数时在 $x\in[0,1]$ 上的包络线？

其实我对“包络”的概念不清楚，不知这样说有没有问题……反正 $g(x)$ 就是通过那系列直线围出来的应该是没错的

顶一下, 有答案吗楼主

顶