[不等式] 一个三角不等式,已经解决,见5楼

\[\abs{\cos{x}}+\abs{\cos{2x} }+\abs{\cos{2^2x}}+···+\abs{\cos{2^nx}} \ge \frac{n}{2},\]其中$n \in N_{+}$.

---便于阅读,把本贴以及回帖错误都删了.

没看懂……

3# realnumber

2项配的话不是要证其>=1么

5# realnumber

大于1/2相加后不是n/4吗

用数学归纳法证明。
(1)显然$n=0,1$时成立(楼上已证，咱不再絮叨了，呵呵)；
(2)假设$n=k,k+1$时成立，即$$\sum_{i=0}^k|\cos 2^ix| \geqslant\frac{k}{2} (\ast),$$ $$\sum_{i=0}^{k+1}|\cos 2^ix| \geqslant\frac{k+1}{2} (\ast \ast);$$
则$n=k+1$时,若$$|\cos x|\geqslant \frac12,$$则由$(\ast)$得：
$$\sum_{i=0}^{k+2}|\cos 2^ix| = |\cos x|+\sum_{i=1}^{k+2}|\cos 2^ix|= |\cos x|+\sum_{i=0}^{k+1}|\cos 2^i(2x)|\geqslant \frac12+\frac{k+1}{2}=\frac{k+2}{2};$$
若$$|\cos x|\leqslant \frac12,$$则由$(\ast\ast)$得：
$$\sum_{i=0}^{k+2}|\cos 2^ix| = |\cos x|+|\cos(2x)| +\sum_{i=2}^{k+2}|\cos 2^ix|= |\cos x|+|\cos(2x)|+\sum_{i=0}^{k}|\cos 2^i(2^2x)|\geqslant 1+\frac{k}{2}=\frac{k+2}{2}.$$
由(1)(2)可知，结论对所有的自然数成立。证毕。

上楼最后一步，若$$|\cos x|\leqslant \frac12,$$则$$|\cos x|+|\cos(2x)|\geqslant 1$$易证吧

5# hnsredfox_007
,学了一招.

西西(24#####63)  09:26:29
角度还成自然等差结论仍然成立
难度就不是一个档次
正弦仍然成立 ,取x为1，下界仍然为你的那个
大概意思是
存在$x\ge 1$,其中$n \in N_{+}$,
\[\abs{\cos{x}}+\abs{\cos{2x} }+\abs{\cos{3x}}+···+\abs{\cos{nx}} \ge \frac{n}{2},\]
\[\abs{\sin{x}}+\abs{\sin{2x} }+\abs{\sin{3x}}+···+\abs{\sin{nx}} \ge \frac{n}{2},\]

8# realnumber


正弦那个易否定
取$x=k\pi$即可

8# realnumber


余弦那个，$n$为奇数时，取$x=\dfrac{\pi}{2}$.否定之

10# hnsredfox_007
你的对,应该是西西没说清楚或我没领会,需要条件是"存在x$\ge1$",我去修改

11# realnumber


那么
余弦那个，取$x=\pi$,显然成立
正弦那个，$n$为偶数时，取$x=\dfrac{\pi}{2}$,显然成立。奇数时，还没想好……

12# hnsredfox_007
模仿你的做法$x=\frac{\pi}{4}$,那么\[\sin{\frac{\pi}{4}}+...+\sin{\frac{n\pi}{4}}≈{\frac{4n}{8}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2n}{8}1+\frac{2n}{8}0}\ge\frac{n}{2}\]
当$n=8k,k\in N$取等号.
这样看起来题目有些水....

12# hnsredfox_007
奇数$\frac{\pi}{2}$也对