来自pep的阶乖不等式

http://bbs.pep.com.cn/thread-1908938-1-1.html

$n\geqslant6$，证\[
\left(\frac n2\right)^n>n!>\left(\frac n3\right)^n. \hspace{5em}(1)
\]
以前好像就见过，不过没想起来当时具体怎么证，刚才试了一下，发现还是没能秒，用了好多分了。。。。

对于式 $(1)$ 左边，由均值不等式，我们有
\begin{align*}
n! &=2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)n \\
& <\left( \frac{2+3+\cdots +(n-2)}{n-3} \right)^{n-3}\cdot (n-1)n \\
& =\left( \frac{n}{2} \right)^{n-3}\cdot (n-1)n,
\end{align*}而\[
\left( \frac{n}{2} \right)^{3}-(n-1)n=\frac18n(n^{2}-8n+8),
\]当 $n$ 为大于 6 的整数时上式大于 0，此时即得式 $(1)$ 左边，而 $n=6$ 可以直接验证不等式成立，所以式 $(1)$ 左边得证；

对于式 $(1)$ 右边，我们将证明更强式\[
n!>\left( \frac{n+1}e \right)^n. \hspace{5em}(2)
\]熟知对任意正整数 $n$ 有 $\left( 1+\dfrac1n \right)^n<e$，于是得\[
\prod_{k=1}^n \left( \frac{k+1}k \right)^k < e^n,
\]注意左边可以约掉很多东东，化简后，等价于\[
\frac{(n+1)^n}{n!}<e^n,
\]即式 $(2)$。

哈哈，好多大一的数分题。。

2# 海盗船长

这个也是数分题？

Stirling公式秒之。。。

4# pxchg1200

嗯，原贴也有提及这个。。。

左边这个更强些 http://bbs.pep.com.cn/thread-585932-1-1.html

阶乖。。。

7# 海盗船长

貌似是谢惠明的《数学分析习题课讲义》上的题目来着。

这道题是零几年的上海交大自主招生题，用数学归纳法比较简单，最后后就变得只需证$2<(1+\frac{1}{k})^k<3$

有更好的结论：
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}
\]
如果用上积分，这个极限可以简单的证明：
\begin{align}
&\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \\
=&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n}}
\end{align}
取对数后，是
\begin{align}
&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln{\frac{k}{n}} \\
=&\int_0^1\ln x \textrm{d}x \\
=& -1
\end{align}
所以就得上面的极限。