[函数] 范围

在$△ABC中，a^3+b^3=c^3,求角C$范围.

不清楚是否为下确界
$a+b>c$,$c^3=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)>c(a^2-ab+b^2)$
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} < \frac{1}{2}$
$C > \frac{\pi}{3}$ 既然你已经得到不超过直角.
-----看来果然要函数做,看楼下

由条件得
\[\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-\sqrt[3]{(a^3+b^3)^2}}{2ab},\]
记 $t=(a+b)^2/(ab)\in [4,+\infty )$，则
\[\cos C=\frac{t}2-1-\frac12\sqrt[3]{t(t-3)^2}=f(t),\]
求导得
\[f'(t)=\frac12-\frac{t-1}{2\sqrt[3]{t^2(t-3)}}<\frac12-\frac{t-1}{2\cdot \frac{t+t+t-3}3}=0,\]
从而
\[f(4)=1-\frac1{\sqrt[3]2}\geqslant f(t)>\lim_{t\to+\infty}f(t)=0,\]
即得
\[C\in \left[ \arccos \left( 1-\frac1{\sqrt[3]2} \right),\frac\pi2 \right).\]

这种代数换元太好了，不过很难想到，谢谢你的答案。补充问一下：如果是a^n+b^n=c^n(n>=3),这时能够求出角C下界的一般式呢？

4# reny

有点麻烦，要用别的代换了，等会写写。

这种代数换元太好了，不过很难想到，谢谢你的答案。补充问一下：如果是a^n+b^n=c^n(n>=3),这时能够求出角C下界的一般式呢？
reny 发表于 2012-12-4 17:30

$n=3$ 的情况前面已经解决了，下面设 $n\geqslant 4$。
\[2\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}=\frac{a^2+b^2-\sqrt[n]{(a^n+b^n)^2}}{ab},\]
由对称性，不妨设 $a\geqslant b$，并令 $a/b=x\in[1,\infty)$，则
\[2\cos C=x+\frac1x-\frac{\sqrt[n]{(x^n+1)^2}}x=g(x),\]
下面证明当 $x\geqslant 1$ 时 $g(x)$ 递减。求导有
\begin{align*}
g'(x)&=1-\frac1{x^2}-\frac{2x^n(x^n+1)^{\frac2n-1}-\sqrt[n]{(x^n+1)^2}}{x^2} \\
& =\frac{x^2-1-(x^n+1)^{\frac2n-1}(x^n-1)}{x^2},
\end{align*}
即要证明对任意 $x\geqslant1$ 有
\[h(x)=(x^n+1)^{\frac2n-1}(x^n-1)-x^2+1\geqslant 0,\]
易见 $h(1)=0$，所以只要证明当 $x\geqslant 1$ 时 $h(x)$ 递增。求导有
\begin{align*}
h'(x)&=\left( \frac2n-1 \right)(x^n+1)^{\frac2n-2}nx^{n-1}(x^n-1)+(x^n+1)^{\frac2n-1}nx^{n-1}-2x \\
& =2x\left( (x^n+1)^{\frac2n-2}x^{n-2}(x^n+n-1)-1 \right),
\end{align*}
即要证明对任意 $x\geqslant1$ 有
\[(x^n+1)^{\frac2n-2}x^{n-2}(x^n+n-1)\geqslant 1,\]
由 $n\geqslant 4$，只需证明更强式
\[(x^n+1)^{\frac2n-2}x^{n-2}(x^n+3)\geqslant 1,\]
上式可以整理为
\[1+\frac3{x^n}\geqslant \left( 1+\frac1{x^n} \right)^{2-\frac2n},\]
于是只需证明
\[1+\frac3{x^n}\geqslant \left( 1+\frac1{x^n} \right)^2,\]
展开等价于显然成立的 $1/x^n\geqslant1/x^{2n}$。这样，当 $x\geqslant 1$ 时 $g(x)$ 递减就得到了证明，从而
\[g(1)=2-\sqrt[n]4\geqslant2\cos C>\lim_{x\to+\infty}g(x)=0,\]
即得
\[C\in\left[\arccos\left(1-\frac12\sqrt[n]4\right),\frac\pi2\right).\]
当 $a=b$ 时取得区间左端点。

g(x)的导函数的分子应该是稍复杂点的x^2-1-（x^n+1）^（2/n-1）(2x^（n-1）-x^n-1)吧

7# reny

你再仔细算下

是的，没错。我少乘了一个x，你这解法计算量不小，最终做出来了，太强了。

9# reny

暂时没想到更好的办法，那些计算我也费了点神才搞了出来