[不等式] （转）一个4次的不等式

$a、b、c、d \in R$,$a+b+c+d=0$,证明：$7(a^2+b^2+c^2+d^2)^{2}  \ge 12(a^4+b^4+c^4+d^4)$

似曾相识，JiChen 好像给过配方，我看能不能找到记录

有了
见：http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=51&t=317535

不用，随手发了下，还以为睡仙？？很想解决，而我又没思路。结果他习惯自己考虑。

果然，kk越来越专业了

“睡仙？？”是？
呃，专业啥，只是记得，找链接而已，那些配方都不知怎么得到的，后面hedeng那些倒是知道是机器。

是不等式群里的，我也不知道是谁，睡仙14129510

O，想起来了，不过群我退了不少了

8# kuing


ah,There exist a nice CS proof! :D

9# pxchg1200


Okay,上CS proof！
话说这个是Vasile Cirtoaje的一个inequality.
proof:
Notice that:
\[ \sum{[b^2+c^2+d^2+3(bc+cd+db)]}=3(a+b+c+d)^2= 0 \]
We can assume
\[ b^2+c^2+d^2+3(bc+cd+db)\geq 0 \]
and
\[ \sum{a^4}=(\sum{a^2})^2-2a^2(b^2+c^2+d^2)-2(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2) \]
so,it's suffices to check
\[  24(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2)+24a^2(b^2+c^2+d^2)\geq 5(a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \]
Now,Using Cauchy-Schwarz,gives
\[ b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2\geq \frac{(bc+cd+db)^2}{3} \]
it's suffice to check
\[ 8(bc+cd+db)^2+24a^2(b^2+c^2+d^2)\geq 5(\sum{a^2})^2 \]
set
\[ x=b^2+c^2+d^2, y=bc+cd+db \]
we have
\[ x+3y\geq 0 \]
\[ a^2=x+2y \]
Hence
\[ 8y^2+24x(x+2y)\geq 5(2x+2y)^2 \]
Or
\[ 4(x-y)(x+3y)\geq 0 \]
Done!
Equality Occurs when $a=-3b=-3c=-3d $
:D
Ps: 发现字体好看多了，kk。  :P

10# pxchg1200

漂亮
其实先看后面再看前面会比较流畅，我估计想的时候也是这样的顺序……蛮自然的，怎么我就没往这里想过呢？