[几何] 来自人教群的四个直角的四边形是平面图形

教师-红米饭(1571******)  18:38:52
有四个角是直角的四边形一定是平面图形对吗？
教师-红米饭(1571******)  18:54:08
网上说法不一
教师-红米饭(1571******)  18:54:29
我证明是对的，但是网上怎么还有人说不一定呢

群管-kuing  18:55:03
我们这里也是网上，我们说对还是不对，结果还是网上说法不一

设 $\vv{AB}=\vv a$, $\vv{BC}=\vv b$, $\vv{CD}=\vv c$, $\vv{DA}=\vv d$，则
\[\vv a+\vv b+\vv c+\vv d=\vv0,\]
由四个直角得
\[\vv a\cdot\vv b=\vv b\cdot\vv c=\vv c\cdot\vv d=\vv d\cdot\vv a=0,\]
将第一式两边平方并代入第二式得
\[\bigl|\vv a\bigr|^2+\bigl|\vv b\bigr|^2+\bigl|\vv c\bigr|^2+\bigl|\vv d\bigr|^2+2\vv a\cdot\vv c+2\vv b\cdot\vv d=0,\]
即
\[\bigl(\vv a+\vv c\bigr)^2+\bigl(\vv b+\vv d\bigr)^2=0,\]
从而 $\vv a=-\vv c$ 且 $\vv b=-\vv d$。

让那些说不一定的人来挑一挑这个证明有没有毛病吧。

本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:31 分类

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kuing

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2^#

发表于 2012-12-1 19:25

爱好者-何万程(1785***) 19:23:49
反证也容易的，若AD、BC异面，则AB、CD都是AD、BC的公垂线，矛盾

realnumber

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3^#

发表于 2012-12-1 22:12

本帖最后由 realnumber 于 2012-12-1 22:14 编辑

2楼反证简明，1楼也是.
新教材删了异面直线距离，模仿下，假设AB,CD异面，过B作直线m平行CD,记AB、m确定的平面为α，那么由AD、BC都垂直面α
可得AD∥BC，即AD,BC共面，即AB、CD共面，矛盾.

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