[函数] 两函数最短距离

两函数最短距离

为什么不改成 $y=\sqrt x$

好象超越方程解不了，假设$A(a,a^2),B(b,lnb)$两点距离最近,那么A,B处的切线平行，且和AB垂直
那么有$2a=\frac{1}{b}$且$2a \times  \frac{a^2-\ln b}{a-b}=-1$

这题改编的吧？选择题？

3# realnumber

oh，好像真是超越了

PS、lnb 应为 \ln b ，× 代码 \times

[quote]为什么不改成 $y=\sqrt x$
kuing 发表于 2012-12-1 17:59 [/quo
为什么不改成$y=e^x$

6# yes94

因为原先就是 $e^x$……

6# yes94

因为原先就是 $e^x$……
kuing 发表于 2013-2-1 16:08

改来改去，就还原了！

嗯，还不能乱改，一下就超越了

2010年或2012年高考选择题，记不得了。
设直线$x=t$与函数$f(x)=x^2$，$g(x)=\ln x$的图象分别交于点$M，N$，则当$|MN|$达到最小时$t$的值为_______

最近的版本是:$~e^x+x=a~$的零点为$~x_1~$,$~\ln x+x=a~$的零点是$~x_2,$则$~|x_1-x_2|_{min}=$____.

11# zwl1972
直线$y=x$与$y=a-x$垂直，反函数

最近的版本是:$~e^x+x=a~$的零点为$~x_1~$,$~\ln x+x=a~$的零点是$~x_2,$则$~|x_1-x_2|_{min}=$____.
zwl1972 发表于 2013-3-28 17:14

还可以求$x_1+x_2$的值吧？其中$a$是常数。

顺便记录刚才搜贴搜到的链接：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2457414

14# kuing
把题弄上来：

(23.49 KB)

2013-4-21 13:54

15# yes94
搞一个不等式的解答，不用反函数
\[\begin{array}{l}
P({x_1},{y_1}),Q({x_2},{y_2}),|PQ| = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} \\
{y_1} = \frac{1}{2}{e^{{x_1}}} = {e^{ - \ln 2}}{e^{{x_1}}} = {e^{{x_1} - \ln 2}} \geqslant {x_1} - \ln 2 + 1\\
{y_2} = \ln 2x_2 = \ln 2 + \ln {x_2} \leqslant \ln 2 + {x_2} - 1\\
{y_1} - {y_2} \geqslant ({x_1} - \ln 2 + 1) - (\ln 2 + {x_2} - 1) = {x_1} - {x_2} - 2\ln 2 + 2\\
If{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_1} - {x_2} - 2\ln 2 + 2 \leqslant 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} then{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_1} - {x_2} \leqslant 2\ln 2 - 2 < 0 \Rightarrow {({x_1} - {x_2})^2} \geqslant {(2\ln 2 - 2)^2}\\
{\kern 1pt} |PQ| = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}}  > \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2}}  \geqslant \sqrt {{{(2\ln 2 - 2)}^2}}  = \sqrt 2 (1 - \ln 2),\\
If{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {y_1} - {y_2} \geqslant {x_1} - {x_2} - 2\ln 2 + 2 > 0\\
|PQ| = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} \\
\geqslant \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({x_1} - {x_2} - 2\ln 2 + 2)}^2}} \\
\geqslant \sqrt {\frac{{{{({x_2} - {x_1} + {x_1} - {x_2} - 2\ln 2 + 2)}^2}}}{2}} \\
= \sqrt {\frac{{{{(2 - 2\ln 2)}^2}}}{2}} \\
= \sqrt 2 (1 - \ln 2)
\end{array}\]

16# yes94

好多 {\kern 1pt} …………

17# kuing
为了空格！latex空格被忽略

18# yes94

说明不应该那样打，那些应该被分开，文字一般都不放在数学模式下。