[不等式] 这次有没算错?一个组合不等式

本帖最后由 realnumber 于 2012-12-28 11:06 编辑

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解答:

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正项数列 $\{a_n\}$，$a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n $，$0 < m < n$，$m$、$n \in \mbb N^ + $，证明：
\begin{align*}
&(C_m^m a_m + C_{m + 1}^m a_{m + 1} + \cdots + C_n^m a_n )^2\\
\geqslant{}& (C_{m - 1}^{m - 1} a_{m - 1} + C_m^{m - 1} a_m + \cdots + C_n^{m - 1} a_n )(C_{m + 1}^{m + 1} a_{m + 1} + \cdots + C_n^{m + 1} a_n ).
\end{align*}
以下用数学归纳法证明。
\begin{align*}
\text{左边} = {}&(C_m^m a_m + \cdots + C_{n - 1}^m a_{n - 1} )^2 + 2C_n^m a_n (C_m^m a_m + \cdots + C_{n - 1}^m a_{n - 1} ) + (C_n^m a_n)^2,\\
\text{右边} = {}&(C_{m - 1}^{m - 1} a_{m - 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m - 1} a_{n - 1} )(C_{m + 1}^{m + 1} a_{m + 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m + 1} a_{n - 1} )\\
& + C_n^{m + 1} a_n (C_{m - 1}^{m - 1} a_{m - 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m - 1} a_{n - 1} ) + C_n^{m - 1} a_n (C_{m + 1}^{m + 1} a_{m + 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m + 1} a_{n - 1} )\\
& + C_n^{m - 1} C_n^{m + 1} a_n^2,
\end{align*}由归纳假设
\[
(C_m^m a_m + \cdots + C_{n - 1}^m a_{n - 1} )^2 \geqslant (C_{m - 1}^{m - 1} a_{m - 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m - 1} a_{n - 1} )(C_{m + 1}^{m + 1} a_{m + 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m + 1} a_{n - 1} ),
\]所以只需要证明：
\begin{align*}
& 2C_n^m a_n (C_m^m a_m + \cdots + C_{n - 1}^m a_{n - 1} ) + (C_n^m a_n )^2\\
\geqslant{}& C_n^{m + 1} a_n (C_{m - 1}^{m - 1} a_{m - 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m - 1} a_{n - 1} ) + C_n^{m - 1} a_n (C_{m + 1}^{m + 1} a_{m + 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m + 1} a_{n - 1} )\\
& + C_n^{m - 1} C_n^{m + 1} a_n^2,
\end{align*}两边除以 $a_n$，即
\begin{align}
&2C_n^m (C_m^m a_m + \cdots + C_{n - 1}^m a_{n - 1} ) + (C_n^m )^2a_n\notag\\
\geqslant{}& C_n^{m + 1} (C_{m - 1}^{m - 1} a_{m - 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m - 1} a_{n - 1} ) + C_n^{m - 1} (C_{m + 1}^{m + 1} a_{m + 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m + 1} a_{n - 1} )\notag\\
& + C_n^{m - 1} C_n^{m + 1} a_n,\label{zhbds20121130s1}
\end{align}以上是 $a_n $ 的一次不等式，只需要证明一次项系数为正，且 $a_n = a_{n - 1} $ 成立即可。
\[
(C_n^m )^2 > C_n^{m - 1} C_n^{m + 1} \iff n - m + 1 > n - m \iff 1 > 0,
\]又 $a_n = a_{n - 1} $ 时，又可以看作 $a_{n - 1} $ 的一次不等式，只需要证明一次项系数为正，且 $a_{n - 1} = a_{n - 2} $ 成立即可，……，如此要使得式 \eqref{zhbds20121130s1} 成立，只需要证明，对任意正整数 $k$（$m \leqslant k \leqslant n - 1$），有
\begin{align*}
&2C_n^m (C_k^m + \cdots + C_{n - 1}^m ) + (C_n^m )^2 - C_n^{m - 1} C_n^{m + 1}\\
&- C_n^{m + 1} (C_k^{m - 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m - 1} ) - C_n^{m - 1} (C_k^{m + 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m + 1} ) > 0,
\end{align*}以及 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时，式 \eqref{zhbds20121130s1} 成立。
$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时，式 \eqref{zhbds20121130s1} 为
\begin{align*}
&2C_n^m C_n^{m + 1} + (C_n^m )^2 \geqslant C_n^{m + 1} C_n^m + C_n^{m - 1} C_n^{m + 2} + C_n^{m - 1} C_n^{m + 1}\\
\iff{}& C_n^m C_n^{m + 1} + (C_n^m )^2 \geqslant C_n^{m - 1} C_n^{m + 2} + C_n^{m - 1} C_n^{m + 1}\\
\iff{}& C_n^m C_{n + 1}^{m + 1} \geqslant C_n^{m - 1} C_{n + 1}^{m + 2}\\
\iff{}& \frac{m + 2}m \cdot \frac{n - m + 1}{n - m} > 1,
\end{align*}以下证明：对任意正整数 $k$（$m \leqslant k \leqslant n - 1$），有
\begin{align*}
& 2C_n^m (C_k^m + \cdots + C_{n - 1}^m ) + (C_n^m )^2 - C_n^{m - 1} C_n^{m + 1}\\
&- C_n^{m + 1} (C_k^{m - 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m - 1} ) - C_n^{m - 1} (C_k^{m + 1} + \cdots + C_{n - 1}^{m + 1} ) > 0\\
\iff{}& 2C_n^m (C_n^{m + 1} - C_k^{m + 1} ) + (C_n^m )^2 - C_n^{m - 1} C_n^{m + 1} - C_n^{m + 1} (C_n^m - C_k^m ) - C_n^{m - 1} (C_n^{m + 2} - C_k^{m + 2} ) > 0\\
\iff{}& C_n^m C_{n + 1}^{m + 1} - C_n^{m - 1} C_{n + 1}^{m + 2} > 2C_n^m C_k^{m + 1} - C_n^{m + 1} C_k^m - C_n^{m - 1} C_k^{m + 2}\\
\iff{}& C_{n + 1}^{m + 1} \left(1 - \frac m{m + 2} \cdot \frac{n - m}{n - m + 1}\right) > C_k^{m + 1} \left(2 - \frac{n - m}{k - m} - \frac m{m + 2} \cdot \frac{k - m - 1}{n + 1 - m}\right),
\end{align*}又
\begin{align*}
&\frac{C_{n + 1}^{m + 1} }{C_k^{m + 1} } \geqslant \frac{C_{n + 1}^{m + 1} }{C_{n - 1}^{m + 1} } = \frac{n(n + 1)}{(n - m)(n - m - 1)}\\
\liff{}& \frac{n(n + 1)}{(n - m)(n - m - 1)}\left(1 - \frac m{m + 2} \cdot \frac{n - m}{n - m + 1}\right) > 2 - \frac{n - m}{k - m} - \frac m{m + 2} \cdot \frac{k - m - 1}{n + 1 - m} = f(k - m),
\end{align*}（注：$f( x ) = - \frac m{m + 2} \cdot \frac x{n + 1 - m} - \frac{n - m}x + C_0$ 类型），在 $m \leqslant k \leqslant n - 1$ 单调递增。
当 $k = n - 1$ 时，
\begin{align*}
& \liff \frac{n(n + 1)}{(n - m)(n - m - 1)}\left(1 - \frac m{m + 2} \cdot \frac{n - m}{n - m + 1}\right) > 2 - \frac{n - m}{n - 1 - m} - \frac m{m + 2} \cdot \frac{n - m - 2}{n + 1 - m}\\
& \iff \frac{n(n + 1)}{(n - m)(n - m - 1)}\left(1 - \frac m{m + 2} \cdot \frac{n - m}{n - m + 1}\right) > \frac{n - m - 2}{n - 1 - m} - \frac m{m + 2} \cdot \frac{n - m - 2}{n + 1 - m}\\
& \begin{aligned}
\liff \frac{(n + 1)}{(n - m)(n - m - 1)}\left(1 - \frac m{m + 2}\right) &\geqslant \frac1{n - 1 - m} - \frac m{m + 2} \cdot \frac1{n + 1 - m}\\
& = \frac1{n + 1 - m}\left(\frac2{n - 1 - m} + 1 - \frac m{m + 2}\right)
\end{aligned}\\
& \iff \frac{(n + 1)}{(n - m)(n - m - 1)} \cdot \frac1{m + 2} \geqslant \frac1{n + 1 - m} \cdot \frac{n + 1}{(n - 1 - m)(m + 2)}\\
& \iff (n + 1 - m) \geqslant (n - m) \iff 1 \geqslant 0.
\end{align*}