极限 $(\sin x)^{\tan x},x\to\pi/2$

求极限
\[\lim_{x\to\pi/2}(\sin x)^{\tan x} \qquad\cdots(1)\]

这类我通常都取个对数再说，为求式 $(1)$ 先求
\[
\lim_{x\to\pi/2}\tan x\ln\sin x \qquad\cdots(2)
\]
为了使用 $e$ 的那个重要极限，令 $\sin x=1-\dfrac1t$，我们先算由左侧极限，当 $x\to\dfrac{\pi}2-$ 时 $t\to+\infty$，且有 $\tan x=\dfrac{t-1}{\sqrt{2t-1}}$，那么
\[
\lim_{x\to\pi/2-}\tan x\ln\sin x = \lim_{t\to+\infty}\dfrac{t-1}{\sqrt{2t-1}}\ln\left(1-\frac1t\right)
=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t-1}{-t\sqrt{2t-1}}\ln\left(1+\frac1{-t}\right)^{-t}
\]
于是显然为0，右侧极限类似，故式 $(2)$ 为0，即式 $(1)$ 为1

这样看来取对数其实还是挺多余的……

我看到的是这样的

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2011-10-14 09:42

是行间公式\[前没换行导致的？

3# ①②③④⑤⑥⑦


呃，奇怪，这个贴不止你一个反映这情况，难道是因为我用了\tag？但是我用IE6和chrome看都正常。
我试试全部换行你再看看

修改了，麻烦再看看

5# kuing


还是看不了，看来是tag的问题

6# ①②③④⑤⑥⑦


噢，那我不用tag了，再修改一下先

$\lim_{x\to\pi/2}(\sin x)^{\tan x}$
$=\lim_{x\to 0}(\cos x)^{-\cot x}$
$=\lim_{x\to 0}(\cos x)^{-\frac{\cos x}{\sin x}}$
$=\lim_{x\to 0}((1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1}\left(-\frac{\cos x (\cos x-1)}{\sin x}\right)}$
$=\lim_{x\to 0}((1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1}\left(-\left(\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{\sin x}-\sin x\right)\right)}$
$=1$

8# 海盗船长


嗯，可以。要是我的话那个负号就不要了，这样可以打少些括号。PS：后面两行多了左括号……

另解  令$x=\frac{\pi}{2}-t$，则
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}=\lim_{t\to0}(\cos t)^{\cot t}$
$=\lim_{t\to0}(\cos^2t)^\frac{\cot t}{2}$
$=\lim_{t\to0}\frac{1}{(1+\tan^2t)^\frac{\cot t}{2}}$
$=\frac{1}{\lim_{t\to0}[(1+\tan^2t)^{\cot^2t}]^{\frac{\tan t}{2}}}$
$=\frac{1}{e^0}$
$=1$

10# 鱼儿

开头是否应为 $x=\dfrac\pi2-t$
PS, 可以试试用align环境去输入这种多行等号的公式。

11# kuing

是的，已经在帖子中修改了。谢谢指正！