无穷乘积的一致收敛

本帖最后由秋风树林于 2012-11-29 09:13 编辑

做倒是做出来了，不过有些小地方还没完善，所以就先不发了

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2012-11-29 09:11

中间那个花写体表示全纯函数列
并且没有一个函数恒等于0
区域是复平面的区域

秋风树林

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2^#

发表于 2012-11-29 13:38

对于这个题目，我有两种思路
1.利用两边同时取log再交换求导与极限的顺序，形式上看起来是很一致的
但是其一是log的单值支问题，我觉得这个不构成太大问题，只要log f的这个级数一致收敛
那么在一个小圆盘上能做到一致收敛同时小圆盘单连通故可取到单值支，由紧集的性质可知在整个紧集上都能一致收敛
问题我觉得出现在两个方面，一个就是log f 的一致收敛暂时还没去想过怎么证
第二个致命的地方在于log(a*b)不一定就等于log a+log b，事实上大部分情况是不等的
2.利用余项，证余项一致收敛于0
余项的形式倒是很简单，比如令g_n(z)为从第n项开始后的连乘积
这家伙全纯并且与f(z)的导数有个很简单的递推关系
余项则为g_n'(z)/g_n(z)，而下面这个一致趋于1，上面一致收敛于0（交换求导与极限顺序）
当然，我在证的时候感觉有些比如一致有界这个东西没去仔细说清楚，就不发仔细的证明了

这就是我的想法
帮忙看看