[几何] 轨迹形状 伴随圆

不妨试试这题

伴随圆那时候是切线垂直，现在相当于是法线垂直，解法大概也类似了，等会抽空写写

才发现比切线复杂多了，方程次数高了……
$a^4 b^4 x^4 - 2 a^2 b^6 x^4 + b^8 x^4 - a^2 b^4 x^6 - b^6 x^6 - 2 a^6 b^2 x^2 y^2 + 4 a^4 b^4 x^2 y^2 - 2 a^2 b^6 x^2 y^2 - 2 a^4 b^2 x^4 y^2 - 3 a^2 b^4 x^4 y^2 - b^6 x^4 y^2 + a^8 y^4 - 2 a^6 b^2 y^4 + a^4 b^4 y^4 - a^6 x^2 y^4 - 3 a^4 b^2 x^2 y^4 - 2 a^2 b^4 x^2 y^4 - a^6 y^6 - a^4 b^2 y^6 = 0.$

代入 $a=4$, $b=3$ 后得到方程为
\[3969 x^4 - 2025 x^6 - 14112 x^2 y^2 - 9225 x^4 y^2 + 12544 y^4 - 13600 x^2 y^4 - 6400 y^6=0.\]
作图得D

。。。要命

能不能设参数$(\cos \theta, \sin \theta)$，然后切点弦好求，用韦达定理求切点弦的中点M，M也是PC的中点，C就求出来了

5# abababa

这方向也不错，等会试试

椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，其伴随圆 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上有动点 $P(x_p,y_p)$，相应的与椭圆的两切线 $PA$, $PB$，其中 $A$, $B$ 为切点且这两点处的法线交于 $C(x_c,y_c)$，线段 $AB$ 的中点为 $D(x_d,y_d)$。

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2012-11-29 20:42

利用切点弦结论，有
\[l_{AB}:\frac{x_px}{a^2}+\frac{y_py}{b^2}=1,\]
另一方面，利用中点弦结论，有
\[l_{AB}:\frac{x_dx}{a^2}+\frac{y_dy}{b^2}=\frac{x_d^2}{a^2}+\frac{y_d^2}{b^2},\]
于是对比得
\[\frac{x_d}{x_p}=\frac{y_d}{y_p}=\frac{x_d^2}{a^2}+\frac{y_d^2}{b^2},\]
由于 $P$ 在伴随圆上，即有 $PA\perp PB$，于是四边形 $PACB$ 为矩形，所以 $D$ 也是线段 $PC$ 的中点，即有 $x_p+x_c=2x_d$ 且 $y_p+y_c=2y_d$，从而
\[\frac{2(x_p+x_c)}{x_p}=\frac{2(y_p+y_c)}{y_p}=\frac{(x_p+x_c)^2}{a^2}+\frac{(y_p+y_c)^2}{b^2},\]
解这个方程组，得
\[\left\{\begin{aligned}
x_c&=-x_p,\\
y_c&=-y_p,
\end{aligned}\right.~\text{或}~\left\{\begin{aligned}
x_c&=x_p\left( \frac2{x_p^2/a^2+y_p^2/b^2}-1 \right),\\
y_c&=y_p\left( \frac2{x_p^2/a^2+y_p^2/b^2}-1 \right),
\end{aligned}\right.\]
如果 $x_c=-x_p$ 且 $y_c=-y_p$ 意味着 $D$ 为原点，这显然不可能，因此可以排除前者。再对后者令 $x_p=\sqrt{a^2+b^2}\cos \theta $ 且 $y_p=\sqrt{a^2+b^2}\sin \theta$ 即得
\[\left\{\begin{aligned}
x_c&=\frac{\cos \theta }{\sqrt{a^2+b^2}}\left( \frac2{\cos^2\theta/a^2+\sin^2\theta/b^2}-a^2-b^2 \right),\\
y_c&=\frac{\sin \theta }{\sqrt{a^2+b^2}}\left( \frac2{\cos^2\theta/a^2+\sin^2\theta/b^2}-a^2-b^2 \right),
\end{aligned}\right.\]
这就是点 $C$ 的轨迹的参数方程。

经检验，上述参数方程满足3#的方程。

感谢楼上上提供的思路

此外，由证明过程可以看出，直线PD必过原点，并且半不限于伴随圆。

7# kuing


晕题了，看着头晕，只有kuing有这功力。

9# 力工

不不，思路是 abababa 提供的，我是沿着这方向玩，不过我没用韦达定理，而是直接用两个已知结论对比得到弦中点的表示，相对简单了些。

话说我想知道楼主的图是用什么作图工具画的，还有楼主的解法如何