[几何] 最多可作几条大于90°的射线--以及怎么推广?

本帖最后由 realnumber 于 2012-12-1 10:23 编辑

从空间一点最多可作几条两两夹角大于90°的射线？

5点不可以
证明：选定2点以及球心，把球面剖成2部分，易得有个半球面上至少有4个点(注意:边界上点,可以认为同在两个半球面上)
再过这2点中一点，把这个半球分割成4块1/8球面，容易得某一块有2点，这2点所成角不超过直角，矛盾，完
四点可以显然了

本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:37 分类

realnumber

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2^#

发表于 2012-11-27 12:35

本帖最后由 realnumber 于 2012-11-27 12:46 编辑

先放向量a,b,c,d
沈-- 12:21:08
两两钝角
沈-- 12:21:13
然后放向量e
沈-- 12:21:56
e必然在某三条射线内部，不妨a,b,c
沈-- 12:22:28
分解e=xa+yb+zc x,y,z均为正
Real 12:22:55
没问题，继续
沈-- 12:23:01
考虑e乘a e乘b e乘c
沈-- 12:23:09
使得均为负
沈-- 12:23:23
可以得矛盾
沈-- 12:24:56
传统解法
从空间一点最多可作几条两两夹角大于90°的射线？
分析：注意到三面角的三个面角两两之和小于四个直角，故可用三个钝角为面角做成一个三面角进行考察．
解：做一个三个面角均为钝角的三面角V－ABC，取VA＝VB＝VC．过A，B，C作平面ABC，作VO⊥平面ABC，垂足为O．显然后∠AVO＝∠BVO＝∠CVO＜90°．
取VO的反向延长线VD，则四射线VA，VB，VC，VD两两夹角均大于90°．
如果这样的直线至少有5条，设为OA，OB，OC，OD，OE，过O作平面α⊥OE，则其余四条射线必与OE不在平面α的同侧（否则该射线与OE所成角将小于90°），而O－ABCD成四面角．
同理过O作其余四条射线中任意一条的垂面β，则其余三条射线也必在垂面β的另一侧．
由此可断定O－ABCD为凸四面角，从而四个面角之和小于360°，因而这四个角中至少有一个面角小于90°，与题设四个面角均大于90°矛盾．
故这样的射线最多只能引4条

realnumber

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3^#

发表于 2012-11-27 12:37

推广:
最少几条射线同一起点，则存在2条成60度?

改成70度又如何?

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