[函数] 请教：辽宁本溪一中高三第二次月考第16题

请教：辽宁本溪一中2013届上学期高三年级第二次月考数学（理）试题第16题

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2012-11-26 23:01

依题意不妨设 $f(x)=ax^2(x-b)$，其中 $a$, $b\ne0$，则 $f'(x)=ax(3x-2b)$，设 $Q(m,n)$，其中 $0<m\leqslant 2$，则依题意有
\[\left\{\begin{aligned}
am^2(m-b)&=n,\\
3m-2b&=0,\\
1+\sqrt{2m-m^2}&=n,
\end{aligned}\right.\]
解得
\[\left\{\begin{aligned}
a&=-\frac{2\sqrt{2m-m^2}+2}{m^3},\\
b&=\frac{3m}2,
\end{aligned}\right.\]
从而
\[f'(x)=\frac{6x(m-x)\bigl(\sqrt{2m-m^2}+1\bigr)}{m^3},\]
因此曲线 $y=f(x)$ 的切线斜率的最大值为
\[g(m)=\frac{3\sqrt{2m-m^2}+3}{2m},\]
求导可证 $g(m)$ 在 $(0,2]$ 上递减，所以所求的最小值就是 $g(2)=3/4$。

最后也可以不求导，搞个三角代换，或者变成两点连线斜率什么的都可以。

谢谢kk版主！

看来玄机都在设  $f(x)=ax^2(x-b)$

我设成了  $f(x)=ax^3+bx^2$   到后面运算很繁，只好作罢。

是否一开始设成 $f(x)=ax^2(2x-3b)$ 效果更好些？

4# shidilin

理论上这些都行，就看哪个解出来的样子简洁些，本质没变

好题，不过作一个填空题有点浪费了，
设$f'(x)=ax(x-m)$,则$f(x)=\frac{ax^3}{3}-\frac{amx^2}{2}$
好象也可以完成，剩下的和k版的方法没有什么区别

6# hongxian

嗯，完全可以放在大题……

这种题，难道不是数形结合？
那个曲线显然是半圆，而三次函数的导数是开口向下的抛物线啊，
就是在$0<b<=-3a$的条件下，求$-b^2/3a$的最小值，
还没想清楚。