定积分

∫ 0-4 x√(1-x^2)/(1+x^2)
不太会用那个代码。。。

∫ 0-4 x√(1-x^2)/(1+x^2)
不太会用那个代码。。。
froglove 发表于 2012-11-26 22:43

根号的范围到哪里？是 $\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}$ 还是 $x\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$？

PS1、还是试着看置顶写代码吧，不然容易像上面那样有歧义不知根号到哪里。
PS2、如果是前者三角代换有机会，后者不太会……
PS3、积分上限？4？

分子分母都根号。。不幸是后者。。宿舍网慢。。那个太多图的教程帖好难打开。。。。

那那个上限怎么回事哩？你打的“∫ 0-4”是否表示从0到4的积分？但定义域也就 [0,1]……

换元居然恰好去根号

令
\[\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}=t,\]
可以解得
\begin{align*}
x&=\sqrt{\frac{1-t^2}{1+t^2}},\\
\rmd x&=\rmd{\sqrt{\frac{1-t^2}{1+t^2}}}=-\frac{2t}{(1+t^2)^2}\sqrt{\frac{1+t^2}{1-t^2}}\rmd t,
\end{align*}
得到
\[x\rmd x=-\frac{2t}{(1+t^2)^2}\rmd t,\]
所以
\[\int x\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\rmd x=-2\int\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\rmd t,\]
然后应该有固定套路了……

上限为1，打错了。。居然是这样暴力解得。。o_O

6# froglove

也许有简单方法吧……我不在行……O_o

这大小眼。。好对称==

啊！突然想起半角公式，有更简单解法了

令 $x=\sqrt{\cos t}$，由半角公式，有
\begin{align*}
\int x\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\rmd x&=\int\sqrt{\cos t}\cdot \sqrt{\frac{1-\cos t}{1+\cos t}}\rmd{\sqrt{\cos t}} \\
& =\int\sqrt{\cos t}\cdot \tan\frac t2\cdot \frac{-\sin t}{2\sqrt{\cos t}}\rmd t \\
& =-\int\sin^2\frac t2\rmd t\\
& =\cdots
\end{align*}

目测这个像正解。。为毛我只想到万能公式还把自己绕进去了。。