[几何] 来自群的椭圆乘积定值与平方和定值

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2012-11-26 18:45

题目：椭圆 $x^2/16+y^2/4=1$ 上有两点 $P$, $Q$，$O$ 为原点，若 $OP$, $OQ$ 斜率之积为 $-1/4$，则 $\abs{OP}^2+\abs{OQ}^2$ 的值为（  ）

解：作圆 $x^2+y^2=16$，分别过 $P$, $Q$ 作 $y$ 轴的平行线交圆于 $P'$, $Q'$，交 $x$ 轴于 $A$, $B$，连结 $OA$, $OB$, $OP'$, $OQ'$，所图所示。

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2012-11-26 18:45

对比椭圆与圆的方程可知 $P$, $Q$ 分别为 $AP'$, $BQ'$ 的中点，于是由 $OP$, $OQ$ 斜率之积为 $-1/4$ 可知 $OP'$, $OQ'$ 斜率之积为 $-1$，也就是说 $OP'\perp OQ'$，从而 $\triangle OAP'\cong\triangle Q'BO$，所以
\begin{align*}
OP^2+OQ^2&=OA^2+PA^2+OB^2+QB^2\\
&=OA^2+\biggl(\frac{P'A}2\biggr)^2+OB^2+\biggl(\frac{Q'B}2\biggr)^2\\
&=OA^2+\biggl(\frac{P'A}2\biggr)^2+P'A^2+\left(\frac{OA}2\right)^2\\
&=\frac54P'O^2\\
&=20.
\end{align*}

其他解法

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2012-11-26 18:47

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2012-11-26 18:48

主楼这种构造实在令人叹为观止
碰到这烂题，看来都向这个方向试试

3# isea

主要是以前碰到过垂直时候的平方和定值问题，所以试图转化到垂直上，于是自然想到拉伸，将 -1/4 拉到 -1，正好椭圆也变成了圆，平方和才能化过去，所以这个题的数据不能乱给。

叹，围观之。