[不等式] 来自群的三次根式不等式，分类切线成功
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2012-11-19 21:17
题目：设 $a$, $b$, $c>0$, $abc=1$，求证
\[\sqrt[3]{a^3-a+1}+\sqrt[3]{b^3-b+1}+\sqrt[3]{c^3-c+1}\geqslant a+b+c.\]
分类切线又成功了。
先做点准备工作，证明以下两式成立。
\begin{align}
\sqrt[3]{x^3-x+1}&>x-\frac16\quad\forall x\in\mbb R;\label{20121119abc1flqxs1}\\
\sqrt[3]{x^3-x+1}&\geqslant x-\frac13\ln x\quad\forall x\geqslant \frac12.\label{20121119abc1flqxs2}
\end{align}
先证式 \eqref{20121119abc1flqxs1}。
若 $x<1$，则显然 $\sqrt[3]{x^3-x+1}>x$，此时式 \eqref{20121119abc1flqxs1} 成立；
若 $x\geqslant 1$，则
\begin{align*}
\sqrt[3]{x^3-x+1}-x+\frac16&=\frac{1-x}{\sqrt[3]{(x^3-x+1)^2}+x\sqrt[3]{x^3-x+1}+x^2}+\frac16 \\
& \geqslant \frac{1-x}{1+x+x^2}+\frac16 \\
& =\frac{7-5x+x^2}{6(1+x+x^2)} \\
& >0,
\end{align*}
故此时式 \eqref{20121119abc1flqxs1} 也成立，所以式 \eqref{20121119abc1flqxs1} 得证。
再证式 \eqref{20121119abc1flqxs2}。令
\[f(x)=\sqrt[3]{x^3-x+1}-x+\frac13\ln x,\]
求导得
\[f'(x)=\frac{3x^3-x-(3x-1)\sqrt[3]{(x^3-x+1)^2}}{3x\sqrt[3]{(x^3-x+1)^2}},\]
当 $1/2\leqslant x\leqslant 1$ 时，有
\begin{align*}
3x^3-x-(3x-1)\sqrt[3]{(x^3-x+1)^2}&\leqslant 3x^3-x-(3x-1)(x^3-x+1) \\
& =(1-x)\bigl((3x-1)(x^2-1)-x\bigr) \\
& \leqslant 0,
\end{align*}
所以此时 $f'(x)\leqslant 0$；
当 $x\geqslant 1$ 时，有
\[3x^3-x-(3x-1)\sqrt[3]{(x^3-x+1)^2}\geqslant 3x^3-x-(3x-1)x^2=x(x-1)\geqslant 0,\]
所以此时 $f'(x)\geqslant 0$。
综上知当 $x\geqslant 1/2$ 时恒有 $f(x)\geqslant f(1)=0$，所以式 \eqref{20121119abc1flqxs2} 得证。
回到原题，由对称性，不妨设 $a=\min\{a,b,c\}$，分两类讨论。
（1）若 $a\geqslant 1/2$，则由式 \eqref{20121119abc1flqxs2} 即得
\[\sum{\sqrt[3]{a^3-a+1}}\geqslant \sum{\left( a-\frac13\ln a \right)}=\sum a-\frac13\ln abc=\sum a,\]
原不等式成立；
（2）若 $0<a<1/2$，则由式 \eqref{20121119abc1flqxs1} 得
\[\sum{\sqrt[3]{a^3-a+1}}>\sqrt[3]{a^3-a+1}+b+c-\frac13,\]
所以只要证明
\[\sqrt[3]{a^3-a+1}\geqslant a+\frac13,\]
上式两边立方并化简整理等价于
\[26-36a-27a^2\geqslant 0,\]
由 $0<a<1/2$ 易知成立，所以原不等式也成立。
综上所述，原不等式获证。
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本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:28 分类
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