请教一个三角形中的最值问题，先谢谢了！

10．在$\triangle ABC$中，满足$A=2B$，$C$是钝角，三边长$a$、$b$、$c$均为整数，求$\triangle ABC$周长的最小值

又要重新打翻译……
$a$, $b$, $c\in\mbb N^+$, $(a+b)^2>c>a^2+b^2$, $a^2=b(b+c)$，求 $a+b+c$ 最小值。

只会笨方法
\[a^2=b(b+c) \riff \left\{\begin{aligned}
&c=\frac{a^2}b-b,\\
& b\mid a^2,
\end{aligned}\right.\]
代入 $(a+b)^2>c^2>a^2+b^2$ 中化简可以得到
\[2>\frac ab>\sqrt 3,\]
通过由小到大寻找，可以找到同时满足 $2>a/b>\sqrt 3$ 且 $b\mid a^2$ 的最小的正整数 $a$ 是 $28$（其实也不是很麻烦，因为有很多数很容易排除，比如质数显然不符合可以直接跳过），所以
\[a+b+c=a+\frac{a^2}b>a+\sqrt3a\geqslant 28+\sqrt3\cdot28\approx 76.4974,\]
所以有
\[a+b+c\geqslant 77,\]
当 $a=28$, $b=16$, $c=33$ 时满足所有条件且 $a+b+c=77$，所以 $a+b+c$ 的最小值为 $77$。

把答案整理一下发上来看一下！
10．在$\triangle ABC$中，满足$A=2B$，$C$是钝角，三边长$a$、$b$、$c$均为整数，求$\triangle ABC$周长的最小值。
解：因为$C=\pi -A-B=\pi -3B>\frac{\pi }{2}$，所以$B<\frac{\pi }{6}$，$\cos B>\frac{\sqrt{3}}{2}$且$\cos B$为有理数
令$\cos B=\frac{n}{m}$，$m>n$，$m$，$n\in N^*$，且$(m,\ n)=1$
由$\left\{ \begin{matrix}
   \frac{n}{m}>\frac{\sqrt{3}}{2}  \\
   \frac{n}{m}<1  \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}m<n<m$，又$m,n\in N^*$所以$m-\frac{\sqrt{3}}{2}m>1\Rightarrow m>4+2\sqrt{3}>7\Rightarrow m\geqslant 8$
又$c=\frac{b}{\sin B}\cdot \sin 3B=b(3-4{{\sin }^{2}}B)=b(4{{\cos }^{2}}B-1)=b\left( \frac{4{{n}^{2}}}{{{m}^{2}}}-1 \right)$
故$\frac{4bm}{{{m}^{2}}}$为整数，又$(m,\ n)=1$，则$\frac{4b}{{{m}^{2}}}$为整数。由$m\geqslant 8$，故$b\geqslant 16$
又$\cos B>\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$c>16\left[ 4{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-1 \right]=32$，所以$c\geqslant 33$
$a=\frac{b\sin 2B}{\sin B}=2b\cos B\ge 2\times 16\times \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}>27$，所以$a\geqslant 28$
即$a+b+c\geqslant 28+16+33=77$
且当$a=28$，$b=16$，$c=33$时，由余弦定理得：$\cos A=\frac{17}{32}$，$\cos B=\frac{7}{8}$
故$\cos A=\cos 2B=2{{\cos }^{2}}B-1$，$A=2B$，$\cos B=\frac{7}{8}>\frac{\sqrt{3}}{2}$，$B<\frac{\pi }{6}$，$A<\frac{\pi }{3}$，$C>\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$
即$a=28$，$b=16$，$c=33$符合条件，$\triangle ABC$周长的最小值为77.
.

原来 $a\geqslant28$ 的证明可以这么简单，那样将两个解法结合起来就可以更简单了。

1# hongxian


呵呵，18D不是关了吗？怎么16号可以发帖？

6# 力工


这可是18D之后的第一贴，之前还被shan了一次！