判断数列的敛散性

$x_{n+1}=\sqrt[2]{x_{n}}+\sqrt[2]{x_{n-1}}$
$ x_{0}>0,x_{1}>0$

\begin{align*}
\abs{x_{n+1}-4}&=\left|\sqrt{x_n}-2+\sqrt{x_{n-1}}-2\right|\\
&\leqslant \left|\sqrt{x_n}-2\right|+\left|\sqrt{x_{n-1}}-2\right|\\
&=\frac{\abs{x_n-4}}{\sqrt{x_n}+2}+\frac{\abs{x_{n-1}-4}}{\sqrt{x_{n-1}}+2}\\
&<\frac12(\abs{x_n-4}+\abs{x_{n-1}-4})
\end{align*}
这样不知有帮助没？

2# kuing
帮助是大大的有啊，不过需要加强一下:-)
首先需要证明对于数 $M(0<M<1)$，从某一项开始，所有的项都将大于 $M$，这个放在后面，有了这个就可以作估计：
\begin{align*}
\abs{x_{n+1}-4}&=\left|\sqrt{x_n}-2+\sqrt{x_{n-1}}-2\right|\\
&\leqslant \left|\sqrt{x_n}-2\right|+\left|\sqrt{x_{n-1}}-2\right|\\
&=\frac{\abs{x_n-4}}{\sqrt{x_n}+2}+\frac{\abs{x_{n-1}-4}}{\sqrt{x_{n-1}}+2}\\
&<\frac{1}{\sqrt{M}+2}(\abs{x_n-4}+\abs{x_{n-1}-4}) \\
&\leqslant\frac{2}{\sqrt{M}+2}max(\abs{x_n-4},\abs{x_{n-1}-4})
\end{align*}
由于那个比例因子是小于1的，这个收敛就顺理成章了。
回头说说那个下界 $M$，如果数列的两个初值中有一个不小于1或者两个都不小于1，那么根据归纳法，后面所有的项都大于1，那 $M$ 也自然就是下界了。如果两个初值都小于1，那么由于 $x_{n+1}>\sqrt{x_n}>x_n$ ,只要取正整数 $m$ 使
\begin{equation*}
x[0]^{\frac{1}{2^m}}>M
\end{equation*}
也就是取
\begin{equation*}
m>\log_2{\log_Mx[0]}
\end{equation*}
就能保证从第 m 项后面所有的项都大于 $M$.

噢，原来还要加强下，刚才没细想，在整电脑……

有界数列有收敛子列，所以存在子列 |xn_k -4| -> m， 进一步xn有子列xt 收敛于a，代入原递推式知a=4。故任给e，充分大t有|xt-4|<e，从而任给n>t后
|xn-4|<e。即xn收敛于4。






3# 都市侠影