又一群里极限题

最近群里时兴极限？
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \tan x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{x\sqrt {1 + \sin ^2 x} - x}}& = \lim_{x \to 0} \frac{{(\tan x - \sin x)(\sqrt {1 + \sin ^2 x} + 1)}}{{x\sin ^2 x(\sqrt {1 + \tan x} + \sqrt {1 + \sin x} )}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{x\sin x\cos x}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sin ^2 x} + 1}}{{\sqrt {1 + \tan x} + \sqrt {1 + \sin x} }} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{x\cos \frac{x}{2}\cos x}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sin ^2 x} + 1}}{{\sqrt {1 + \tan x} + \sqrt {1 + \sin x} }} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{{2\cos \frac{x}{2}\cos x}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sin ^2 x} + 1}}{{\sqrt {1 + \tan x} + \sqrt {1 + \sin x} }} \\
&= 1 \cdot \frac{1}{{2 \cdot 1 \cdot 1}} \cdot \frac{{\sqrt 1 + 1}}{{\sqrt 1 + \sqrt 1 }} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}

是不是因为很多人都大一了？

2# 海盗船长


呃，不知道

又一道类似，还是来自群的

(27.63 KB)

2012-10-1 20:24

分母有理化，有
\begin{align*}
& \lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\bigl(\sqrt[3]{1+x^2}-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+\sin x}-1\bigr)} \\
={}&\lim_{x\to0}\frac{(\tan x-\sin x)\bigl(\sqrt{1+\sin x}+1\bigr)\bigl(\sqrt[3]{(1+x^2)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\bigr)}{x^2\sin x} \\
={}&\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)\bigl(\sqrt{1+\sin x}+1\bigr)\bigl(\sqrt[3]{(1+x^2)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\bigr)}{x^2\cos x} \\
={}&\lim_{x\to0}\left( \frac{\sin \frac x2}{\frac x2} \right)^2\frac{\bigl(\sqrt{1+\sin x}+1\bigr)\bigl(\sqrt[3]{(1+x^2)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\bigr)}{2\cos x} \\
={}&3.
\end{align*}

话说哪个群？
1.
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \tan x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{x\sqrt {1 + \sin ^2 x} - x}}
&=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)}{x\frac{1}{2}ln(1+\sin^2x)}\\
&=\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}
\end{align*}
2.
\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\bigl(\sqrt[3]{1+x^2}-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+\sin x}-1\bigr)}&=
\lim_{x\to 0}\frac{x(1-\cos x)}{\frac{1}{3}\ln(1+x^2)\frac{1}{2}\ln(1+\sin x)}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{x\frac{x^2}{2}}{\frac{1}{3}x^2\frac{1}{2}x}\\
&=3
\end{align*}

话说哪个群？
六月的煜 发表于 2012-10-25 17:26

人教论坛的数学群，友情链接里能找到其群号

话说我对等价量替换还不太熟，所以习惯用有理化了

PS、那些函数名前面加个 \ 会变正体，正规些。

已改正，群已申请，谢谢！

7# 六月的煜

刚才在煮饭，已通过，不客气