[不等式] $ \sum_{i=1}^na_i^{\sum\limits_{j\neq i}a_j}>1.$

$ a_1,a_2,\cdots,a_n>0, n= 2,3,4,5 $, 那么
$$ \sum_{i=1}^na_i^{\sum\limits_{j\neq i}a_j}>1.$$

如何证明 $n=4,5$ 的情况？据说人教论坛研究过这个问题，请教

本主题由 kuing 于 2013-1-19 14:54 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-11-2 13:46

$ a_1,a_2,\cdots,a_n>0, n= 2,3,4,5 $, 那么
$$ \sum_{i=1}^na_i^{\sum\limits_{j\neq i}a_j}>1.$$

如何证明 $n=4,5$ 的情况？据说人教论坛研究过这个问题，请教
freame 发表于 2012-11-2 13:34

经典不等式
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=323853
是在这里研究过，后面有个解答，不过我一直没看懂

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

freame

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3^#

发表于 2012-11-2 13:50

谢谢，我先看看去。
人教论坛限制不少，我很久的ID，级别低，现在不能发帖

kuing

管理员

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4^#

发表于 2012-11-2 13:55

3# freame

n=4在贴里24楼，印象中某期的《中国初等数学研究》里面收录过他的这个证明，可能还不止那里贴的那些，具体你可以问问那贴的楼主，也就是在本论坛上的 realnumber。

人教论坛只会搞限制，呵呵，低级会员在那里很难混的，所以也很冷清了……

realnumber

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5^#

发表于 2012-12-23 10:49

本帖最后由 realnumber 于 2013-1-6 18:04 编辑

我只是证明了 n=3,4，主要方法是分类，a,b,c,d字母范围足够小
至于n=5没证明，猜测类似办法也行，但没精力去分了，n=4已经分得倒胃口了，如果哪天有更好的设想也许会再试试.具体证明kuing的连接就有.
分类设想来自这个：也许有如下类似的原理,f(x)≥g(x)恒成立,夹在虚线间的部分可以看到此时f(x)min>g(x)max