[几何] 来自人教数学群的抛物线角度相等

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2012-10-30 16:48

设 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$，联立方程组，有
\[\left\{\begin{aligned}
y &=k(x-a), \\
y^2 &=2px,
\end{aligned}\right.\riff k^2x^2-(2p+2k^2a)x+k^2a^2=0,\]
于是由韦达定理，有
\[x_1x_2=a^2,\]
不妨设 $A$ 在 $x$ 轴上方，则
\begin{align*}
\tan \angle APF-\tan \angle BPF&=\frac{y_1}{x_1+a}+\frac{y_2}{x_2+a} \\
& =\frac{k(x_1-a)}{x_1+a}+\frac{k(x_2-a)}{x_2+a} \\
& =\frac{2k(x_1x_2-a^2)}{(x_1+a)(x_2+a)} \\
& =0,
\end{align*}
所以 $\angle APF=\angle BPF$。

这种题出在选择题感觉浪费了点，就像上面聊天记录里的，有一定经验的都能目测出C了，即使不会证的，要碰运气时估计也猜C的多……咳

搜了一下，原来上面群聊记录中提到的“阿基米德三角形”就是抛物线焦点弦的那堆熟知的常用结论