[数论] 一道数论题

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2012-10-30 04:16

这道也是老题, 我印象中第一次见的时候好像是捕狐犬解过, 何版主还给过一般结论, 明天有空翻翻帖看看。

怎么证的

PS、∈ 是 \in ，花括号是 \{ 和 \} ，max 前可加 \ 使之直立。
kuing 发表于 2012-12-1 16:07

这也被看出来了啊，试下$\{$,$\in$    $\out$ $\up$  $\down$
忧闷，分子分母看错， ，重新考虑，前面删了

3# realnumber

那我前面的也删了。
out? up? down? 想打什么……

胡乱打的，就想看看是什么？结果没什么

5# realnumber

有 \in 没有 \out ，但是有 \notin ，即 $\notin$
没有 \up 和 \down ，但有 \uparrow 和 \downarrow ，即 $\uparrow$ 和 $\downarrow$

以下字母一般都是正整数
\[\frac{a}{a+m}+\frac{c}{c+n} <1 -------------(1)\]
不妨设$a \ge c$，m,n最小可以取1,
m=1时,可解得对应的$n=ac+1$,使得(1)成立，且（1）左边最大。
又\[1-\frac{a}{a+m}-\frac{c}{c+n} =\frac{mn-ac}{mn+cm+an+cm},-------（2）\]
$mn-ac \ge 0$,固定$mn=ac+k_{0}$,那么$m=1,n=ac+k_{0}$时，（2）分母最大，（2）的值最小
如此可得对于固定的$a,c (a \ge c)$,当$m=1,n=ac+1$,(1)成立，且左边最大。
要解决1楼问题，只需要解答如下问题：$a,c (a \ge c   ，a+c=20),$\[\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1+ac} <1 \]成立，且使得不等式左边最大
令$a=10+x,c=10-x， 0 \le x \le 10,$
那么\[1- (\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1+ac}) =\frac{1}{(a+1)(c+ac+1)}=\frac{1}{(11+x)(111-x-x^2)}\]
设$f(x)=(11+x)(111-x-x^2),   0 \le x  \le 10$,
$f′(x)=(111-x-x^2)+(11+x)(-1-2x)=-3x^2-24x+100$,2次函数的对称轴在y轴左侧，$f′(3) \ge 0$,$f′(4)  \le 0$
经计算f(3)=1386>f(4)=1365，所以a=13,b=14,c=7,d=99符合要求，完---



另外得到的性质
固定a,c,m,则存在唯一$n_{0}$,当$n \ge n_{0}$时,(1)均成立,显然$n=n_{0}$时,$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$最接近1;当$n < n_{0}$时,(1)均不成立.
对于固定的a,c,$m_{1},m_{2}$($m_{1} \ge m_{2}$),设$m_{1}$对应着$n_{1}$,$m_{2}$对应着$n_{2}$,那么当$n \ge n_{2}  $时候，（1）成立，即$\frac{a}{a+m_{2}}+\frac{c}{c+n} <1 $,而此时$\frac{a}{a+m_{1}}+\frac{c}{c+n} <1 $也成立，说明$n_{1} \le n_{2}$
1楼条件或类似
推广1：\[\frac{a}{sa+m}+\frac{c}{sc+n} <\frac{1}{s} ,s\in N\],  也可以用同样的办法得到
推广2：\[\frac{a}{a+m}+\frac{c}{c+n} <s ,s\in N ,s \ge 2\],  s给出具体数值比如s=2，似乎还是可以解？
推广3：\[\frac{a}{a+m}+\frac{c}{c+n} +\frac{d}{d+p}<1 \],  一点都不会
---ps.似乎总是代具体数值开始做实验，走了n多弯路......特殊到一般

以下字母一般都是正整数
$\frac{a}{a+m}+\frac{c}{c+n}
realnumber 发表于 2012-12-8 16:50

you are great!!!

不清楚是否可解
提问:$a,b,c,d\in N,a+c=20,$\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}<\frac{5}{7},求\frac{a}{b}+\frac{c}{d}的最大值.\]