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nash

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1^#

发表于 2012-10-30 04:04

[函数] 三次函数问题

实数a满足，有且仅有一个正方形四个顶点均在函数y=x^3+ax上，求正方形的边长

本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:32 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-10-30 04:11

似曾相识，可能是老竞赛题。
爪机ing

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

nash

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3^#

发表于 2012-10-30 04:19

听说是20年前的题目

kuing

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4^#

发表于 2012-10-30 15:29

3# nash

果然没印象错……不过解法显然没印象……

shidilin

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5^#

发表于 2012-10-30 15:49

正方形的中心，是三次曲线的对称中心？

kuing

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6^#

发表于 2012-10-30 15:58

5# shidilin

直觉上如无意外是这样的，不过要证明……

nash

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7^#

发表于 2012-10-31 00:31

假设正方形ABCD的中心不是坐标原点，则A、B、C、D关于原点对称的点A1、B1、C1、D1构成的正方形在函数图像上，矛盾…

kuing

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8^#

发表于 2012-10-31 01:12

7# nash

我倒是想知道如果不是限制了“有且仅有一个”的话，还有没有中心不在原点的这样的正方形？

nash

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9^#

发表于 2012-10-31 01:58

8# kuing

看图像想不出来如何构造，如果去掉“仅有一个”而求a的取值范围，不知道是否可解

realnumber

论坛元老

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10^#

发表于 2012-12-1 12:23

记$f(x)=y=x^3+ax$
正方形因为对角线互相平分,四个顶点横坐标为c-s,c-t,c+t,c+s,(其中s>0,t>0)
,那么纵坐标$f(c-s)+f(c+s)=f(c-t)+f(c+t)$,化简得c=0,(s=t舍去)
后面就简单了,对角线垂直相等用下好了

kuing

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11^#

发表于 2012-12-1 13:49

10# realnumber

那看来正方形中心只能在原点……

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