[不等式] 来自人教数学群的一道三元条件为$2(a+b+c)^2+3(bc+ca+ab)\leqslant 9$的不等式

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2012-10-29 00:29

“学生-天书”说“把11年美国条件改了”，如果是真的话，又不知是谁改的呢？（其实看样子我个人觉得有点像JiChen改的，如果有知情的麻烦说一声。）


题目：已知 $a$, $b$, $c>0$ 满足 $2(a+b+c)^2+3(bc+ca+ab)\leqslant 9$，求证
\begin{equation}\label{sytjbds20121029ys}
\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}+\frac{ab+1}{(a+b)^2}\geqslant 3.
\end{equation}


证明：由条件知，要证式 \eqref{sytjbds20121029ys}，只需证
\begin{equation}\label{sytjbds20121029zyz1}
\sum{\frac{bc}{(b+c)^2}}+\frac{2(a+b+c)^2+3(bc+ca+ab)}9\sum{\frac1{(b+c)^2}}\geqslant 3,
\end{equation}
由著名的伊朗96不等式，有
\[\sum{\frac1{(b+c)^2}}\geqslant \frac9{4(bc+ca+ab)},\]
因此，要证式 \eqref{sytjbds20121029zyz1}，只需证
\begin{equation}\label{sytjbds20121029zyz2}
\sum{\frac{bc}{(b+c)^2}}+\frac{2(a+b+c)^2+3(bc+ca+ab)}{4(bc+ca+ab)}\geqslant 3,
\end{equation}
作等价变形，有
\begin{align*}
\eqref{sytjbds20121029zyz2} &\iff \sum{\left( \frac{bc}{(b+c)^2}-\frac14 \right)}+\frac{2(a+b+c)^2-6(bc+ca+ab)}{4(bc+ca+ab)}\geqslant 0 \\
&\iff \sum{\frac{-(b-c)^2}{4(b+c)^2}}+\frac{\sum{(b-c)^2}}{4(bc+ca+ab)}\geqslant 0 \\
&\iff \sum{\left( 1-\frac{bc+ca+ab}{(b+c)^2} \right)(b-c)^2}\geqslant 0,
\end{align*}
由对称性，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则易知 $\displaystyle \frac{a-c}{b-c}\geqslant \frac ab$，记 $\displaystyle S_a=1-\frac{bc+ca+ab}{(b+c)^2}$, $\displaystyle S_b=1-\frac{bc+ca+ab}{(c+a)^2}$, $\displaystyle S_c=1-\frac{bc+ca+ab}{(a+b)^2}$，则易知 $S_b\geqslant 0$, $S_c\geqslant 0$，下面证明 $a^2S_b+b^2S_a>0$。事实上
\begin{align*}
a^2S_b+b^2S_a&=a^2+b^2-(bc+ca+ab)\left( \frac{a^2}{(c+a)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2} \right) \\
& >2ab-(bc+ca+ab)\left( \frac a{a+2c}+\frac b{b+2c} \right) \\
& =2ab-\frac{2(bc+ca+ab)^2}{(a+2c)(b+2c)} \\
& =2ab-\frac{2a^2b^2+4abc(a+b)+8abc^2+2c^2(a+b)^2-8abc^2}{ab+2c(a+b)+4c^2} \\
& =\frac{2c^2(a-b)^2}{ab+2c(a+b)+4c^2} \\
& \geqslant 0,
\end{align*}
所以 $a^2S_b+b^2S_a>0$ 成立。由此，我们得到
\begin{align*}
\sum{\left( 1-\frac{bc+ca+ab}{(b+c)^2} \right)(b-c)^2}&\geqslant S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2 \\
& =(b-c)^2\left( S_a+\left( \frac{a-c}{b-c} \right)^2S_b \right) \\
& \geqslant (b-c)^2\left( S_a+\frac{a^2}{b^2}S_b \right) \\
& =\frac{(b-c)^2(a^2S_b+b^2S_a)}{b^2} \\
& \geqslant 0,
\end{align*}
所以式 \eqref{sytjbds20121029zyz2} 成立，故原不等式得证。

果然出自 JiChen 之手，见：
http://bbs.cnool.net/cthread-65628662.html

百度搜不出来，还是 google 好使啊