[数列] 来自粉丝群的一道等差数列题

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2012-10-28 16:11

中间略省一段……

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2012-10-28 16:11

如图所示，这里暂且按照第一种的理解。

依题意知 $a_n$ 递减，且 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_8>0$, $a_9$, $a_{10}$, $\ldots <0$，故此 $\displaystyle \frac{S_1}{a_1}$, $\displaystyle \frac{S_2}{a_2}$, $\ldots $, $\displaystyle \frac{S_8}{a_8}>0$, $\displaystyle \frac{S_9}{a_9}$, $\displaystyle \frac{S_{10}}{a_{10}}$, $\ldots $, $\displaystyle \frac{S_{15}}{a_{15}}<0$, $\displaystyle \frac{S_{16}}{a_{16}}$, $\displaystyle \frac{S_{17}}{a_{17}}$, $\ldots >0$，且由于 $S_1$ 到 $S_8$ 递增而 $a_1$ 到 $a_8$ 递减，所以 $\displaystyle \frac{S_1}{a_1}$ 到 $\displaystyle \frac{S_8}{a_8}$ 递增，所以如果存在正整数 $m$ 使 $\displaystyle \frac{S_m}{a_m}>\frac{S_8}{a_8}$ 则必然 $m\geqslant 16$。

设 $S_n=An^2+Bn$，则 $a_n=S_n-S_{n-1}=A(2n-1)+B$，依题意知 $A<0$, $B>0$, $\displaystyle \frac{15}2<-\frac B{2A}<8$，令 $\displaystyle \frac BA=u$，则 $-15>u>-16$，于是
\[\frac{S_n}{a_n}=\frac{An^2+Bn}{A(2n-1)+B}=\frac{n^2+un}{2n-1+u},\]
设 $m\geqslant 16$ 使 $\displaystyle \frac{S_m}{a_m}>\frac{S_8}{a_8}$，则
\[\frac{m^2+um}{2m-1+u}>\frac{64+8 u}{15+u},\]
作差分解等价于
\[\frac{(m-8)(m u+15 m+u^2+7 u-8)}{(u+15)(2m-1+u)}>0,\]
由 $-15>u>-16$, $m\geqslant 16$ 知 $\displaystyle \frac{m-8}{(u+15)(2m-1+u)}<0$，所以上式等价于
\[m u+15 m+u^2+7 u-8<0,\]
即
\[m>\frac{u^2+7u-8}{-(u+15)},\]
不难求得当 $-15>u>-16$ 时有 $\displaystyle \frac{u^2+7u-8}{-(u+15)}$ 的取值范围是 $(136,+\infty)$，所以至少要 $m=137$ 才存在 $u$ 使 $\displaystyle \frac{S_{137}}{a_{137}}>\frac{S_8}{a_8}$，也就是说只要 $t\leqslant 136$，则满足条件的所有数列都会有 $\displaystyle \frac{S_1}{a_1}$, $\displaystyle \frac{S_2}{a_2}$, $\ldots$, $\displaystyle \frac{S_t}{a_t}$ 中必定 $\displaystyle \frac{S_8}{a_8}$ 最大。

我不太习惯这种思考方式，能不能找到原题及命题人给的做法
我是这么想的，$\frac{S_n}{a_n}$看成一个函数，分别用求和公式和通项公式代入，得到$f(n)$，这个题不妨取$d=-1$，相当于$a_1$要大于7小于7.5，然后用几何画板把函数画出来，找到$f(8)$，平行于x轴的直线画过去跟函数右边去相交，结果发现右边横坐标最大大概130到140之间，此时a取的是7.499
还有一个问题，取a=7.4会发现最大值大于150，因此我觉得如果是楼主的答案，是不是意思是对于所有满足题意的等差数列必须要恒成立的最大t
看来楼主答案是对的，但是感觉做法不好看

2# joatbmon

题意的不清在截图里面已经提及