[数列] 来自人教论坛的要求用数学归纳法证数列不等式

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请帮忙用数学归纳法证明
\[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_n}{a_{n+1}}>\frac n2-\frac13\]
其中 $a_n=2^n-1$

像原贴3#那样直接归不行，而像原贴4#那样的加强显然也是一样（只改变常数显然没用，大概他自己也没动手去做），原贴后面12#的提示也没看懂（goft的提示总是超级简洁）。

其实加强命题也很容易想到，下面将其加强成
\[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_n}{a_{n+1}}>\frac n2-\frac13+\frac1{2^{n+1}}.\]
其中 $n\geqslant4$。（$n=1$, $2$, $3$ 时不加强，直接用原不等式验证）

这样就可以直接数归了，但是要先验证 $n=4$ 总感觉不太满意，不知有没有个更好的加强方法？

http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=621446
9楼，10楼。
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我只是想问4楼的加强，如何用数归法操作。谢谢KK！

要不要再强一点
\[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_n}{a_{n+1}}>\frac n2-\frac{27}{89}\]

比那个13/42强

数值上较强了，用相同的方法可能就要从比较后面的项开始用归纳法才行，也就是说要验证前面很多个n……超麻烦