卡住了,关于e

在证明\[1+\frac{n}{1}+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+...+\frac{n^n}{n!} \ge \frac{e^n}{2}\],n为正整数.
运用数学归纳法过程中
似乎只要证明$\frac{{n}^{n}}{{e}^{n-1}n!} \ge \frac{e-2}{2}$ 就可以了--
或有没n!上下界近似公式,最好是关于e的指数形式的.

似乎只要证明$\frac{{n}^{n}}{{e}^{n-1}n!} \ge \frac{e-2}{2}$ 就可以了--
realnumber 发表于 2012-10-16 21:01

左边的极限好像是 0 喔
Stirling 公式 $n!\sim\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}$

你那个“只需证……”是怎么得出来的？
归纳法可能加强一下更好证

似乎右边分母那个2还不能减小了，我甚至怀疑
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sum_{k=1}^n\frac{n^k}{k!}}{e^n}=2\]
可惜高数不行

——————2013-2-1更正——————
右边应该是1/2，当时不知撞什么邪，给写错了……

这样啊,那我开始就猜错了

左边的极限好像是 0 喔
Stirling 公式 $n!\sim\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}$
kuing 发表于 2012-10-16 21:08

回复时间和楼主的修改时间不一样，常常看不懂

6# yes94

1#应该只是将行内公式改成了行间公式，内容没变。

似乎是高数的,要不移动到高数区?已经彻底放弃.

用软件画了下似乎有
\[1+\frac n1+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}\geqslant\frac12\left(1+\frac1n\right)^{n(n+1/2)}\]
不知会不会容易证一点，不过估计也很难……
至于移过那边……我暂时不想动……

移过来这边了。

\[1+\frac n1+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}\geqslant\frac{e^n}2\]

这个刚才在人教群里看到了一个高等证法，由于我高数弱，看了好一会才看懂了。

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2013-1-30 22:49

感谢 Salvation！

上面过程有点简略（可能因为我弱才觉得），这里顺便补充一下关键几处的推导。
由分部积分有
\[
\int_0^x{t^ne^{-t}\rmd t}=-\int_0^x{t^n\rmd{e^{-t}}}=-t^ne^{-t}|_0^x+\int_0^x{e^{-t}\rmd{t^n}}=-x^ne^{-x}+n\int_0^x{t^{n-1}e^{-t}\rmd t},
\]
记 $\int_0^x{t^ne^{-t}\rmd t}=I_n$, $I_0=\int_0^x{e^{-t}\rmd t}=1-e^{-x}$，上式化为
\[
I_n=-x^ne^{-x}+nI_{n-1},
\]
同除 $n!$ 得
\[
\frac{I_n}{n!}=-\frac{x^n}{n!}e^{-x}+\frac{I_{n-1}}{(n-1)!},
\]
求和得
\[
\frac{I_n}{n!}=-e^{-x}\sum_{i=1}^n{\frac{x^i}{i!}}+I_0=1-e^{-x}s_n(x),
\]
由 Gamma 函数的定义知 $n!=\int_0^{+\infty }{t^ne^{-t}\rmd t}$，故
\[
e^{-x}s_n(x)=1-\frac{I_n}{n!}=\frac1{n!}\left( \int_0^{+\infty }{t^ne^{-t}\rmd t}-\int_0^x{t^ne^{-t}\rmd t} \right)=\frac1{n!}\int_x^{+\infty }{t^ne^{-t}\rmd t},
\]
所以
\[
s_n(n)=\frac{e^n}{n!}\int_n^{+\infty }{t^ne^{-t}\rmd t},
\]
于是
\[
s_n(n)>\frac{e^n}2\iff 2\int_n^{+\infty }{t^ne^{-t}\rmd t}>n!=\int_0^{+\infty }{t^ne^{-t}\rmd t}\iff \int_n^{+\infty }{t^ne^{-t}\rmd t}>\int_0^n{t^ne^{-t}\rmd t}.
\]

之后的就比较好懂了，最后说的 Taylor 展开也很简单，这里就不详说了。

似乎右边分母那个2还不能减小了，我甚至怀疑
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sum_{k=1}^n\frac{n^k}{k!}}{e^n}=2\]
可惜高数不行
kuing 发表于 2012-10-17 02:36

根据上述计算过程，以上猜测等价于
\[\lim_{n\to+\infty}\frac1{n!}\int_n^{+\infty}t^ne^{-t}\rmd t=2,\]
或者能不能将 $n$ 变成 $x\in\mbb R$，不限制在整数，也就是说有没有如下的
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_x^{+\infty}t^xe^{-t}\rmd t}{\int_0^{+\infty}t^xe^{-t}\rmd t}=2,\]
能不能证到？继续研究下……

——————————
更正：右边应为1/2

10# kuing


我们有
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^{n}}{n!}}{e^{n}}}=\frac{1}{2} \]
不废话，上图片。

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2013-2-1 22:11

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2013-2-1 22:11

噢，原来我上面都写错了，全将 1/2 写成了 2

14# kuing


这个好像是概率论中的中心极限定理。。。

15# pxchg1200

噢，我看看能不能看懂……

顺便将群里说的转发过来

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2013-2-1 22:23

13# pxchg1200

大概是读懂了，不过细节方面可能还要再想想。
时间关系先闪了