[不等式] 神奇的条件ab+bc+ca = abc+2

For $a,b,c>0$ with $ab+bc+ca=abc+2$ prove that:
\[ a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc(a+b+c-2)\ge 4 \]

(proposed by mudok)

没思路，除了uvw……

2# kuing


只要证明：$a+b+c\geq 3 $

2# kuing

只要证明：$a+b+c\geq 3 $
pxchg1200 发表于 2012-10-16 19:29

这个不成立吧，比如 $a\to0$, $b=c\to\sqrt2$

4# kuing


Oh,Schur 放缩过头了。。。

对其中的一个字母分三类讨论即可：a>1,a=1,a<1

6# goft

这个提示好简洁……

7# kuing
估计这题也是个“非暴力不合作”的..........

证出来没有啊 px

9# kuing


估计要分类讨论$a+b+c\geq 3$ 或$a+b+c<3 $

我的想法： $4=2(ab+bc+ca)-2abc $
所以只要证明 $ a^2+b^2+c^2+abc(a+b+c)\geq 2(ab+bc+ca) $
\[ abc(a+b+c)\geq 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) \]
若 $a+b+c\geq 3$ 则由Schur inequality
\[ abc(a+b+c)\geq \geq \frac{abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) \]
若 $a+b+c<3 $ ....... 这里不会弄了..

WLOG assume $(a-1)(b-1)\geq 0\implies ab+1\geq a+b;$ and $c+ab\ge2.$ Now note that we have
\[\begin{aligned}a^2+b^2+c^2+abc(a+b+c-2)&=a^2+b^2+c^2(1+ab)+abc(a+b)-2abc\\&\geq a^2+b^2+c(c+ab)(a+b)-2abc\\&\geq a^2+b^2+2(ca+bc)-2abc\\&\geq a^2+b^2+2(ca+bc-abc)\\&=a^2+b^2+2(2-ab)\\&=4+(a-b)^2\geq 4.\end{aligned}\]
Equality holds iff $a=b=c=1.\Box$
:)
Potla 秒杀了。。。。

11# pxchg1200

nice!
其实设 $(a-1)(b-1)\geqslant0$ 这招我也考虑过（以前有类似的题也用过），但是没用成功还是太菜了……
后来是想换元去了，也没换出来……