[不等式] 最近貌似挺火的一题

Let$a,b$  and $c$ be positive real numbers with$abc=1$ . Prove that
\[ \sqrt{ 9+16a^{2}}+\sqrt{ 9+16b^{2}}+\sqrt{ 9+16c^{2}}\ge 3+4(a+b+c) \]



still alive although nearly die....

挺火？怎么我木见过

最后那句啥意思看不懂求翻译……

你把条件打漏了吧，目测条件应该是 $a+b+c=3$

话说既然火，那应该有各种链接吧楼主能不能提供一些参考链接我学习学习

你把条件打漏了吧，目测条件应该是 $a+b+c=3$
都市侠影 发表于 2012-10-17 12:48

应该不会是 $a+b+c=3$，因为不等式右边就有 $a+b+c$，如果是 $a+b+c=3$ 的话右边应干脆写成 15。

proof:
Since
\[ \sqrt{9+16a^{2}}-4a=\frac{9}{4a+\sqrt{9+16a^{2}}} \]
Using AM-GM inequality,we have
\[ \sqrt{9+16a^{2}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{16a^{2}+9}{2a+3}+2a+3 \right) \]
Hence
\[ \frac{9}{4a+\sqrt{9+16a^{2}}}\geq \frac{2a+3}{2a^{2}+2a+1} \]
Using the know result of
\[ \boxed{\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\geq 1} \]
actually,we have
\[ \frac{2a+3}{2a^{2}+2a+1}\geq \frac{3}{a^{\frac{8}{5}}+a^{\frac{4}{5}}+1} \]
which can be checked by AM-GM
the result follows.
Done!

6# pxchg1200

咦，看了这个才想起你前段时间不是在群里发过一个can的类似的一个过程，不知是不是这个题？具体没记起