[不等式] 来自超级群的要求纯代数解的求最值

爱好者-v6/huaix(4744*****)  21:17:14

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2012-10-13 22:20

爱好者-v6/huaix(4744*****)  21:17:19
做题吧
爱好者-v6/huaix(4744*****)  21:17:39
这个纯代数的解
爱好者-v6/huaix(4744*****)  21:18:24
不要正切换元

题目：已知 $a$, $b$, $c$ 是正实数，且 $abc+a+c=b$。设
\[p=\frac2{a^2+1}-\frac2{b^2+1}+\frac3{c^2+1},\]
则 $p$ 的最大值为______。

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:50 分类

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

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2^#

发表于 2012-10-13 22:45

由已知等式可设 $b=a+c+t$, $t>0$，则 $ac(a+c+t)=t$，那么
\begin{align*}
p&=\frac2{a^2+1}-\frac2{b^2+1}+\frac3{c^2+1} \\
&=\frac2{\frac{ta}{c(a+c+t)}+1}-\frac2{\frac{t(a+c+t)}{ac}+1}+\frac3{\frac{tc}{a(a+c+t)}+1} \\
&=\frac{2c(a+c+t)}{(a+c)(c+t)}-\frac{2ac}{(a+t)(c+t)}+\frac{3a(a+c+t)}{(a+c)(a+t)} \\
&=\frac{3(a+c)(a+t)(c+t)+ct(4a-c-t)}{(a+c)(a+t)(c+t)},
\end{align*}
（1）若 $4a-c-t<0$，则 $p<3$；

（2）若 $4a-c-t\geqslant 0$，记
\[f(a,c,t)=\frac{3(a+c)(a+t)(c+t)+ct(4a-c-t)}{(a+c)(a+t)(c+t)},\]
则
\[f\left( a,\frac{c+t}2,\frac{c+t}2 \right)-f(a,c,t)=\frac{a(4a-c-t)(a+c+t)(c-t)^2}{(a+c)(a+t)(c+t)(2a+c+t)^2}\geqslant 0,\]
令 $(c+t)/2=ua$, $u>0$，则
\[p\leqslant f(a,ua,ua)=\frac{2u^2+8u+3}{(u+1)^2}=\frac{10}3-3\left( \frac1{u+1}-\frac23 \right)^2\leqslant \frac{10}3,\]
当 $u=1/2$ 时取等号。

综上所述，$p$ 的最大值为 $10/3$，等号成立当且仅当 $a=2c=2t$ 即 $b=2a=4c=\sqrt2$。

kuing

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3^#

发表于 2012-10-13 22:50

如果已经知道或猜到了最大值，也就是只要证明不等式时，作差配方更方便。

\[\frac{10}3-\frac{3(a+c)(a+t)(c+t)+ct(4a-c-t)}{(a+c)(a+t)(c+t)}=\frac{t(a-2c)^2+c(a-2t)^2+a(c-t)^2}{3(a+c)(a+t)(c+t)}\geqslant0.\]

其实我也有点意外的是，齐次后居然会有半对称性。