弧微分证明

请教各位，如何严格证明弧微分公式，即（dx)^2+(dy)^2=(ds)^2
书上说曲线上两点无限接近，这时两点间弧长和直线距离是等价无穷小，这好像是说明，而不是证明。

kuing

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2^#

发表于 2012-10-8 13:59

我也不是很懂，不知是不是大概这样：$\require{cancel}$
\[\xcancel{\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2=\frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}}=1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2,\]
当 $\rmd y/\rmd x$ 存在时
\[
\left(\frac{\rmd s}{\rmd x}\right)^2=\lim_{\Delta x\to0}\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2=1+\lim_{\Delta x\to0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2=1+\left(\frac{\rmd y}{\rmd x}\right)^2,
\]
所以 $(\rmd s)^2=(\rmd x)^2+(\rmd y)^2$。

也就是说这条公式成立大概需要函数可导？

错了……谢楼下指出，cancel 掉先

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3^#

发表于 2012-10-8 14:57

(Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2，why?
我也知几何应用和物理应用中，等价无穷小都是想象出的，不证明。但这个弧长公式属于微积分最简单应用，不知如何从数学上严格证明。是否需构造函数或是极限定义法？

kuing

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4^#

发表于 2012-10-8 15:07

噢，那样的确错了
错得很离谱……叉掉了……

kuing

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5^#

发表于 2012-10-8 16:06

好像要 $y'$ 也连续，由弧长公式推弧微分公式，其中弧长公式用定义推导，这样应该不会循环论证……

当 $y'$ 连续，有
\[s(x)=\int_{x_0}^x\sqrt{1+(y')^2}\rmd x,\]
故
\[\frac{\rmd s}{\rmd x}=\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\rmd y}{\rmd x}\right)^2},\]
所以……