[不等式] 来自群的几何不等式，内切圆再来三个圆切着

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2012-10-5 01:02

提问人未配图，其实应该配一个的，否则那三个圆的位置按照原题的叙述其实是不够清晰的。
我顺手画了个，大概是这个样子吧：

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2012-10-5 01:02

我用内切圆代换系统证到了，寻找几何方法ing，或者简单点的代数方法也可以。

时间关系，洗个澡回来再写内切圆代换的证法。

由
\[OA=OO_1+AO_1=R+R_1+R_1\cdot \frac{OA}R,\]
得
\[R_1=R\cdot \frac{OA-R}{OA+R}=R\cdot \frac{(OA-R)^2}{OA^2-R^2}=R\cdot \frac{(OA-R)^2}{AE^2},\]
用内切圆代换系统，设 $AE=AF=x$, $BF=BD=y$, $CD=CE=z$，则有
\begin{align*}
R&=\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}, \\
OA&=\sqrt{\frac{x(x+y)(x+z)}{x+y+z}},
\end{align*}
代入并运用柯西不等式，有
\begin{align*}
R_1&=\frac R{x^2}\left( \sqrt{\frac{x(x+y)(x+z)}{x+y+z}}-\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}} \right)^2 \\
& =\frac R{x(x+y+z)}\bigl( \sqrt{(x+y)(x+z)}-\sqrt{yz} \bigr)^2 \\
& \geqslant \frac R{x(x+y+z)}\bigl( x+\sqrt{yz}-\sqrt{yz} \bigr)^2 \\
& =\frac x{x+y+z}\cdot R,
\end{align*}
同理有另外两式，三式相加即得
\[R_1+R_2+R_3\geqslant R.\]

( ⊙ o ⊙ )啊！我笨了，其实得到 $R_1$ 的表达式之后应该转化为三角函数更简单。

如上得到
\[R_1=R\cdot \frac{OA-R}{OA+R}=R\cdot \frac{1-\frac R{OA}}{1+\frac R{OA}}=R\cdot \frac{1-\sin\frac A2}{1+\sin\frac A2},\]
于是
\[\frac{R_1+R_2+R_3}R=\frac{1-\sin\frac A2}{1+\sin\frac A2}+\frac{1-\sin\frac B2}{1+\sin\frac B2}+\frac{1-\sin\frac C2}{1+\sin\frac C2},\]
易证函数 $f(x)=(1-\sin x)/(1+\sin x)$ 在 $(0,\pi/2)$ 上是严格下凸的，所以当且仅当 $A=B=C=\pi/3$ 时上式取最小值为 $1$，即得证。

这样就简单多了，当然，最后可能不必用凸函数也能证出来，但时间关系我就懒了。不过2#得到的局部不等式也挺漂亮，也不算完全白干吧……闪了

嗯，最后也可以用柯西加个熟知的三角不等式，爪机就不打代码了，自己试试吧。

水饺…

嗯，最后也可以用柯西加个熟知的三角不等式，爪机就不打代码了，自己试试吧。

水饺…
kuing 发表于 2012-10-5 03:59

醒了，哎，反正木银，不写白不写。

\[\sum\frac{1-\sin\frac A2}{1+\sin\frac A2}=-3+2\sum\frac1{1+\sin\frac A2}\geqslant-3+\frac{18}{3+\sum\sin\frac A2}\geqslant-3+\frac{18}{3+\frac32}=1.\]