[不等式] 请教一个优美不等式命题的证明

(29.69 KB)

2012-10-4 19:07

请论坛里的高手们参与本题的讨论，谢谢了……本人随时关注大家的讨论哟，有想法的也可以和我联系；
程汉波：ＱＱ２８７２４０２７９　　　邮箱：ｃｈｅｎｇｈａｎｂｏ５１１＠sina.com

你的标题真是从一而终

PS1、相关链接还是要给给的：http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... &page=1#pid3744
PS2、怎么不试下用代码？就两个简单公式而已，何必贴图（还贴两个）……

恩，
①我想这个标题也许更吸引不等式方面人的注意。
②这个标题也说明我好记写，而且也不好取其他的标题啊。
③我不小心贴了两个一样的图上去了，也没改下。
④我正准备学latex编辑，但是一直没多少时间，呵呵，以后一定会的

2# kuing
请指教下还有没有更自然些的解法呢，因为这里用到了两个引理，总感觉有些不自然……应该会有更好的解法吧

恩，
①我想这个标题也许更吸引不等式方面人的注意。
②这个标题也说明我好记写，而且也不好取其他的标题啊。
③我不小心贴了两个一样的图上去了，也没改下。
④我正准备学latex编辑，但是一直没多少时间，呵呵，以后一定会的
ccnu_chb_ycb 发表于 2012-10-4 19:37

回①②：但太千篇一律不方便找，或者你可以将一些关键式子也打上标题。
就像这个贴这样：http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-237-1-7.html；
回③：删除多余附件可参考：http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-119-1-1.html；
回④：在本论坛上对于并不复杂的公式输入，看置顶贴足够应付，并非很复杂，不用花很多时间的。
比如一楼的不等式这样输入 \$(x^2+2y)(y^2+2z)(z^2+2x)\ge9xyz(x+y+z)\$ 就可以了。

想到新方法了，后面发现竟然很弱很弱。

证：首先两边除以 $xyz$，等价于
\[\left( \frac{x^2}z+\frac yz+\frac yz \right)\left( \frac zx+\frac{y^2}x+\frac zx \right)\left( \frac xy+\frac xy+\frac{z^2}y \right)\geqslant 9(x+y+z),\]
由 Holder 不等式之类的，有
\[\left( \frac{x^2}z+\frac yz+\frac yz \right)\left( \frac zx+\frac{y^2}x+\frac zx \right)\left( \frac xy+\frac xy+\frac{z^2}y \right)\geqslant \left( \sqrt[3]{\frac{x^2}y}+\sqrt[3]{\frac{y^2}z}+\sqrt[3]{\frac{z^2}x} \right)^3,\]
为方便处理，换元去掉三次根号，令 $x=a^3$, $y=b^3$, $z=c^3$, $a$, $b$, $c>0$，则要证原不等式，只要证
\begin{equation}\label{20121004jtzzs1}
\left( \frac{a^2}b+\frac{b^2}c+\frac{c^2}a \right)^3\geqslant 9(a^3+b^3+c^3).
\end{equation}

对于式 \eqref{20121004jtzzs1} 的左边，由柯西不等式，有
\begin{align*}
\frac{a^2}b+\frac{b^2}c+\frac{c^2}a&\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} \\
& \geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}} \\
& =\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}},
\end{align*}
即有
\[\left( \frac{a^2}b+\frac{b^2}c+\frac{c^2}a \right)^3\geqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^9}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^3}},\]
而对于式 \eqref{20121004jtzzs1} 的右边，亦由柯西不等式，有
\[9(a^3+b^3+c^3)\leqslant 9\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)},\]
于是，要证式 \eqref{20121004jtzzs1}，只要证
\begin{equation}\label{20121004jtzzs2}
\frac{(a^2+b^2+c^2)^8}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^3}\geqslant 81(a^4+b^4+c^4).
\end{equation}

令 $a^2+b^2+c^2=p$, $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q$，则式 \eqref{20121004jtzzs2} 等价于
\begin{equation}\label{20121004jtzzs3}
p^8\geqslant 81q^3(p^2-2q).
\end{equation}

由均值不等式，有 $3q\leqslant p^2$ 以及
\[27q^2(p^2-2q)\leqslant 27\left( \frac{2q+p^2-2q}3 \right)^3=p^6,\]
即得式 \eqref{20121004jtzzs3}，所以原不等式得证。



由上述证明中的放缩程度可见式 \eqref{20121004jtzzs1} 其实还挺弱的……

不知这个算不算自然了些？

佩服这个解法的同时……还是对于这个解答的过程有些许不满意，总感觉想找个简单优美的解法。呵呵，你对于不等式的功底确实深厚

先展开，再分成三组，分别用AG，相加--居然也行
$(x^2+2y)(y^2+2z)(z^2+2x)=x^2y^2z^2+2z^3x^2+2y^3z^2+2x^3y^2+4yz^3+4zx^3+4xy^3+8xyz$
而$\frac{1}{3}x^2y^2z^2+2x^3y^2+4zx^3+\frac{8}{3}xyz \ge \frac{27}{3}x^\frac{54}{27}y^\frac{22}{27}z^\frac{22}{27}$
同理，类似2个
三个相加，得到
$(x^2+2y)(y^2+2z)(z^2+2x)  \ge 9(xyz)^\frac{22}{27}(x^\frac{32}{27}+y^\frac{32}{27}+z^\frac{32}{27})$

8# realnumber
54/27的地方有些问题，应该是(63+1)/27。还有就是证到最后的时候不是和要证明的不等式还有些差距吗？是怎么处理的呢

_____kuing edited 处理敏感数字_____

54的话，正好用契比雪夫不等式，63+1我不会了，哎~~~，白忙了
要不过会搭配下别的，还是这个办法，先外出买下东西---应该没戏，

_____kuing edited 处理敏感数字_____

10# realnumber

展开配均值是可以的，我在http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... &page=1#pid3739也提到过，但是由于真的挺暴力，所以当时就没贴上来。既然如此，还是把当年的word发发好了，见附件。

顺便处理了一下9#和10#的敏感数字。
你懂的