[不等式] 再研究$1/a+1/b+1/c+k/(a+b+c)$

话说今晚人教群里网友“爱好者-程汉波(2872*****)”提及了几个形式是 $1/a+1/b+1/c+k/(a+b+c)$ 的不等式（条件是 $a,b,c>0,abc=1$），于是我给他发了这个链接：http://www.artofproblemsolving.com/blog/38834，这是我两年前得到的结果，给出了 $a=b=c$ 取最小值时的 $k$ 的最大值。
但随后该网友继续问“$k$ 不在这个范围内的时候，不等式左边的最值是什么？”，嗯，这的确值得继续探讨的，我不记得当年是否有考虑过，也许是没搞出来。
刚才无聊又试着搞搞，哎，带参数的东西还是不太在行，暂时胡乱搞出了如下猜想：

猜想：已知 $a$, $b$, $c>0$, $abc=1$，记方程 $16x^3+567x^2-3402x-18225=0$ 的唯一正数根为 $K\approx8.1086$，给定 $k\in\mbb R$，记 $1/a+1/b+1/c+k/(a+b+c)$ 的最小值为 $f(k)$，则
\[f(k)=\begin{cases}
\displaystyle 3+\frac k3, & k\leqslant K,\\
\displaystyle \sqrt[3]{\frac{27}{32}\bigl(k^2+20k-8-\sqrt{k(k-8)^3}\bigr)}, & k>K.
\end{cases}\]
其中前半部分就是链接中的结果了，这里猜想的是后半部分那个。

时间关系，闪一下先。

呵呵，明天好好看下这个，谢谢哟

2# ccnu_chb_ycb

先不用谢，我暂时还没完全证出来，只是猜着……
至于那个 uvw 定理你去 mathlinks 找找相关文章。