来自群里的高次求值题 $x^{13}+\frac1{x^{13}}$

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2011-10-10 20:49

为方便书写，记 $T_k=x^k+\dfrac1{x^k}$，不断往上算，有
\begin{align*}
T_1&=x + \frac{1}{x} = a \\
T_2&=x^2 + \frac{1}{{x^2 }} = a^2 - 2 \\
T_3&=x^3 + \frac{1}{{x^3 }} = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {x^2 - 1 + \frac{1}{{x^2 }}} \right) = a(a^2 - 3) \\
T_4&=x^4 + \frac{1}{{x^4 }} = (a^2 - 2)^2 - 2 \\
T_5&=x^5 + \frac{1}{{x^5 }} = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {x^4 + \frac{1}{{x^4 }} - x^2 - \frac{1}{{x^2 }} + 1} \right) = a\left( {(a^2 - 2)^2 - 2 - (a^2 - 2) + 1} \right) \\
T_6&=x^6 + \frac{1}{{x^6 }} = a^2 (a^2 - 3)^2 - 2
\end{align*}
由因式分解，并注意到 $T_{2k}=T_k^2-2$，我们有
\begin{align*}
T_{13}&=x^{13} + \frac{1}{{x^{13} }}\\
&= \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {x^{12} + \frac{1}{{x^{12} }} - x^{10} - \frac{1}{{x^{10} }} + x^8 + \frac{1}{{x^8 }} - x^6 - \frac{1}{{x^6 }} + x^4 + \frac{1}{{x^4 }} - x^2 - \frac{1}{{x^2 }} + 1} \right) \\
&= T_1\left(T_6^2 - T_5^2 + T_4^2 - T_3^2 + T_2^2 - T_1^2 + 1\right)
\end{align*}
将前面的值代入展开整理最终得\[
x^{13} + \frac1{x^{13}}=a \left(a^{12}-13 a^{10}+65 a^8-156 a^6+182 a^4-91 a^2+13\right)
\]

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kuing

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2^#

发表于 2011-10-10 21:27

另解
令 $a=2\cos t$，其中 $t\in\mathbb{C}$，那么由欧拉公式可知方程 $x+\dfrac1x=2\cos t$ 解得\[
x=e^{\pm it}
\]于是再由欧拉公式得\[
x^{13}+\frac1{x^{13}}=e^{13it}+e^{-13it}=2\cos 13t
\]利用已知的 $\cos n\theta$ 的展开式（切比雪夫多项式），有\[
2\cos 13t = 8192 \cos ^{13}t-26624 \cos ^{11}t+33280 \cos ^9t-19968 \cos ^7t+5824 \cos ^5t-728 \cos ^3t+26 \cos t
\]代回 $\cos t = \dfrac a2$ 化简得\[
2\cos 13t=a \left(a^{12}-13 a^{10}+65 a^8-156 a^6+182 a^4-91 a^2+13\right)
\]即\[
x^{13}+\frac1{x^{13}}=a \left(a^{12}-13 a^{10}+65 a^8-156 a^6+182 a^4-91 a^2+13\right)
\]