[不等式] 来自人教群的四元不等式

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2012-10-3 14:34

群管-kuing<kuingggg@qq.com>  14:31:32
切不出来，但可以柯出来

题目：设 $a\in(-\infty,0)$, $b$, $c$, $d\in(1/2,2)$，且 $a+b+c+d=2$，求证
\[\frac a{a^2-a+1}+\frac b{b^2-b+1}+\frac c{c^2-c+1}+\frac d{d^2-d+1}\leqslant\frac83.\]

证：易见原不等式等价于
\[\frac{(a+1)^2}{3(a^2-a+1)}\leqslant \frac{(b-1)^2}{b^2-b+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2-c+1}+\frac{(d-1)^2}{d^2-d+1},\]
由柯西不等式有
\begin{align*}
\frac{(b-1)^2}{b^2-b+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2-c+1}+\frac{(d-1)^2}{d^2-d+1}&\geqslant \frac{(b+c+d-3)^2}{b^2+c^2+d^2-b-c-d+3} \\
& =\frac{(a+1)^2}{b^2+c^2+d^2-b-c-d+3},
\end{align*}
于是只要证
\[b^2+c^2+d^2-b-c-d+3\leqslant 3(a^2-a+1),\]
将 $a=2-b-c-d$ 代入上式化简，可以化为
\[\frac{(2b+2c+2d-3)^2+(2b-1)(2c-1)+(2b-1)(2d-1)+(2c-1)(2d-1)}2\geqslant0,\]
由条件知成立，故原不等式得证。

PS、由上述证明可见有多余条件，$a$ 无需限制为负，$b$, $c$, $d$ 也无需限制上限。

想用调整处理上面不等式,没成功,
碰到个问题$f(x)=\frac{x}{x^2-x+1}$
若$x+y=k+1,对任意x,y都有f(x)+f(y)≤f(k)+f(1)$求k的取值范围.
或者找出k的一些范围,也许其他就可以"切"出来了

应该算是调整出来了

又玩凹凸调整