[函数] 来自群的一道证有界
爱好者-林<wayn*********com> 14:23:01
怎么证明？请教一下
(103.65 KB)
2012-10-2 15:13
群管-kuing<kuingggg@qq.com> 14:34:41
2 - |f(x)| = ((x^2-1)^2+3x^4+1)/(2(x^4+1)) > 0
爱好者-林<wayn*********com> 14:36:13
k哥是求导？
群管-kuing<kuingggg@qq.com> 14:36:46
你哪里看到有一撇？
爱好者-林<wayn*********com> 14:37:23
呵呵，那小弟不明白了！赐教
群管-kuing<kuingggg@qq.com> 14:37:48
…………那你当我没说过吧
爱好者-林<wayn*********com> 14:38:52
呵呵，说说一下思路！k哥
爱好者-/huaix(4744*****) 14:46:41
把这个函数的值域算出来吧 值域的端点就是上下确界
不过没有必要算出上下确界
爱好者-/huaix(4744*****) 14:47:48
k哥的更简单
群管-kuing<kuingggg@qq.com> 14:49:00
值域也容易，只不过他只是要证上界，就懒得算了，直接目测2就足够配方
\[t-f(x)=\frac{t x^4-x^2+t-1}{x^4+1},\]
为使分子配成完全平方，我们需要分子关于 $x^2$ 的判别式为 $0$，即 $4t(t-1)=1$，解得 $t=\bigl(\sqrt2+1\bigr)/2$（因为 $t$ 肯定要是正的才能取到等，这里已舍去负根），于是得
\[\frac{\sqrt2+1}2-f(x)=\frac{\bigl(\sqrt2+1\bigr)\bigl(x^2-\sqrt2+1\bigr)^2}{2(x^4+1)},\]
所以最大值就是 $\bigl(\sqrt2+1\bigr)/2$，再由 $f(x)>0$ 及 $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ 知值域是 $\bigl(0,\bigl(\sqrt2+1\bigr)/2\bigr]$。
其实如果只是证有界，而且能用高数的一些什么定理之类的，大概直接由 $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ 以及 $f(x)$ 连续就直接能得到……
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本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:51 分类
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发表于 2012-10-9 08:59
